Die Normalverteilung CDF und ihre Inverse sind nicht in geschlossener Form verfügbar, und die Berechnung erfordert eine sorgfältige Verwendung numerischer Verfahren. Die Funktionen sind jedoch in Software für Statistik und Wahrscheinlichkeitsmodellierung sowie in Tabellenkalkulationen weit verbreitet. In Microsoft Excel steht beispielsweise die Funktion probit als Norm zur Verfügung.s.inv(p). In Computerumgebungen, in denen numerische Implementierungen der inversen Fehlerfunktion verfügbar sind, kann die Probit−Funktion als

probit ⁡ (p) = 2 erf − 1 ⁡ (2 p – 1) erhalten werden . {\displaystyle \operatorname {probit} (p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1).}

Ein Beispiel ist MATLAB, wo eine ‚erfinv‘-Funktion verfügbar ist. Die Sprache Mathematica implementiert ‚InverseErf‘. Andere Umgebungen implementieren die Probit-Funktion direkt, wie in der folgenden Sitzung in der Programmiersprache R gezeigt.

> qnorm(0.025) -1.959964> pnorm(-1.96) 0.02499790

Details zur Berechnung der inversen Fehlerfunktion finden Sie unter . Wichura gibt einen schnellen Algorithmus zur Berechnung der Probit-Funktion auf 16 Dezimalstellen; Dies wird in R verwendet, um zufällige Variationen für die Normalverteilung zu erzeugen.

Eine gewöhnliche Differentialgleichung für die Probit-Funktionbearbeiten

Ein weiteres Berechnungsmittel basiert auf der Bildung einer nichtlinearen gewöhnlichen Differentialgleichung (ODE) für Probit nach der Steinbrecher- und Shaw-Methode. Wenn man die Probit-Funktion als w (p ) {\displaystyle w(p)}

abkürzt, ist die ODE d w d p = 1 f(w ) {\displaystyle {\frac {dw}{dp}}={\frac {1}{f(w)}}}

wobei f (w ) {\displaystyle f(w)}

die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von w ist.

Im Fall der Gaußschen:

epmathmarkerep = 2 π epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep epmathmarkerep^{2}}{2}}}

Wieder differenzieren:

d 2 w d p 2 = w ( d w d p ) 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dp^{2}}}=w\links({\frac {dw}{dp}}\rechts)^{2}}

mit den mittleren (Anfangs-)Bedingungen

w ( 1 / 2 ) = 0 , {\ displaystyle w\links(1/2\rechts)=0,}

w ‚ ( 1/2 ) = 2 π . {\displaystyle w’\links(1/2\rechts)={\sqrt {2\pi }}.}

Diese Gleichung kann mit verschiedenen Methoden gelöst werden, einschließlich des klassischen Potenzreihenansatzes. Daraus können Lösungen mit beliebig hoher Genauigkeit basierend auf Steinbrechers Ansatz für die Serie für die inverse Fehlerfunktion entwickelt werden. Die Potenzreihenlösung ist gegeben durch

w ( p ) = π 2 ∑ k = 0 ∞ d k ( 2 k + 1 ) ( 2 p − 1 ) (2 k + 1 ) {\displaystyle w(p)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}}{(2k+1)}}(2p-1)^{(2k+1)}}