Buch 1 der Elemente beginnt mit zahlreichen Definitionen, gefolgt von den berühmten fünf Postulaten. Bevor Euklid dann anfängt, Theoreme zu beweisen, gibt er eine Liste allgemeiner Begriffe. Die ersten Definitionen sind:

Die Postulate sind Konstruktionen wie:

Man kann eine gerade Linie von jedem Punkt zu jedem Punkt zeichnen.

Die gemeinsamen Begriffe sind Axiome wie:

Dinge, die gleich sind, sind auch gleich.

Wir sollten bestimmte Dinge beachten.

1. Euklid scheint einen Punkt zweimal (Definitionen 1 und 3) und eine Linie zweimal (Definitionen 2 und 4) zu definieren. Das ist ziemlich seltsam.
2. Euklid macht nie Gebrauch von den Definitionen und bezieht sich nie auf sie im Rest des Textes.
3. Einige Konzepte werden nie definiert. Zum Beispiel gibt es keine Vorstellung davon, die Punkte auf einer Linie zu ordnen, so dass die Idee, dass ein Punkt zwischen zwei anderen liegt, nie definiert wird, aber natürlich wird es verwendet.
4. Wie wir in den reellen Zahlen festgestellt haben: Pythagoras zu Stevin, Buch V der Elemente betrachtet Größen und die Theorie des Anteils der Größen. Euklid lässt jedoch das Konzept der Größe undefiniert, und dies scheint den modernen Lesern so zu sein, als hätte Euklid es versäumt, Größen mit der Strenge aufzustellen, für die er berühmt ist.
5. Wenn Euklid Größen und Zahlen einführt, gibt er einige Definitionen, aber keine Postulate oder allgemeinen Begriffe. Zum Beispiel könnte man erwarten, dass Euklid postuliert a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b+ c) a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c) a+ b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c) usw., aber er tut es nicht.
6. Wenn Euklid Zahlen in Buch VII einführt, macht er eine Definition, die den grundlegenden am Anfang von Buch I ziemlich ähnlich ist:
   Eine Einheit ist diejenige, aufgrund derer jedes der Dinge, die existieren, eins genannt wird. Einige Historiker haben vorgeschlagen, dass der Unterschied zwischen der Art und Weise, wie grundlegende Definitionen am Anfang von Buch I und von Buch V auftreten, nicht darin besteht, dass Euklid in Buch V weniger streng war, sondern dass Euklid seine grundlegenden Konzepte immer undefiniert ließ und die Definitionen am Anfang von Buch I spätere Ergänzungen sind. Was ist der Beweis dafür?Der erste Kommentar wäre, dass dies erklären würde, warum Euklid sich nie auf die grundlegenden Definitionen bezieht. Wenn sie nicht in dem Text waren, den Euklid schrieb, konnte er sich natürlich nicht auf sie beziehen. Der nächste zu beachtende Punkt ist, dass sie der Arbeit, die Heron zugeschrieben wird, sehr ähnlich sind Definitionen von Begriffen in der Geometrie. Diese enthält 133 Definitionen geometrischer Begriffe, beginnend mit Punkten, Linien usw. die denen von Euklid sehr nahe kommen. In Knorr argumentiert überzeugend, dass diese Arbeit tatsächlich auf Diophantus zurückzuführen ist. Der Punkt hier ist der folgende. Basiert die Definition von Begriffen in der Geometrie auf Euklids Elementen oder wurden die grundlegenden Definitionen aus dieser Arbeit in spätere Versionen der Elemente eingefügt?Wir müssen überlegen, was Sextus Empiricus über Definitionen sagt. Beachten Sie zunächst, dass Sextus etwa 200 n. Chr. schrieb und bis vor relativ kurzer Zeit glaubte, dass Heron später lebte. Wäre dies der Fall, dann hätte Sextus natürlich nichts von Heron beziehen können. In jüngerer Zeit wurde Heron jedoch auf das erste Jahrhundert nach Christus datiert, und dies sagt uns, dass Sextus nach Heron schrieb. Der andere Teil des Puzzles, den wir hier betrachten müssen, ist die früheste Version von Euklids Elementen. Als der Vesuv 79 n. Chr. ausbrach, wurde Herculaneum zusammen mit Pompeji und Stabiae zerstört. Herculaneum wurde von einer kompakten Materialmasse von etwa 16 m Tiefe begraben, die die Stadt bis zum Beginn der Ausgrabungen im 18. Besondere Feuchtigkeitsbedingungen des Bodens konservierten Holz, Stoff, Lebensmittel und insbesondere Papyri, die uns wichtige Informationen geben. Ein dort gefundener Papyrus enthält Fragmente der Elemente und wurde eindeutig vor 79 n. Chr. Da Philodemus, ein Schüler von Zeno von Sidon, nahm seine Bibliothek von Papyri dort einige Zeit bald nach 75 BC die Version der Elemente ist wahrscheinlich um dieses Datum zu sein.Gehen wir zurück zu Sextus, der über „Mathematiker, die geometrische Entitäten beschreiben“ schreibt, und es ist interessant, dass das Wort „Beschreiben“ nicht in den Elementen verwendet wird, sondern von Heron in Definitionen von Begriffen in der Geometrie verwendet wird. Wieder sind die Beschreibungen, die er gibt, näher an den genauen Wörtern, die in Heron erscheinen, als die von Euklid. Wenn Sextus „die Definition eines Kreises“ gibt, verwendet er das Wort „Definition“, das das von Euklid ist. Sextus zitiert die genaue Definition eines Kreises, der im Herculaneum-Fragment erscheint. Dies beinhaltet keine Definition von „Umfang“, obwohl Euklid den Begriff des Umfangs eines Kreises verwendet. Die späteren Versionen der Elemente, die zu uns gekommen sind, enthalten eine Definition von „Umfang“ innerhalb der Definition eines Kreises.
   Keine der obigen Aussagen beweist, ob die grundlegenden Definitionen geometrischer Objekte später zu den Elementen hinzugefügt wurden. Sie zeigen ziemlich überzeugend, dass die Definition eines Kreises in späteren Ausgaben des Buches um die Definition des Umfangs erweitert wurde. Die Hypothese ist, dass Sextus die Elemente und Definitionen von Begriffen in der Geometrie vor sich hat, wenn er schreibt, und er verwendet das Wort „beschreiben“, wenn er sich auf Heron bezieht, und „definieren“, wenn er sich auf Euklid bezieht. Selbst wenn dies richtig ist, beweist es immer noch nicht, dass die Version der Elemente, die vor Sextus sitzen, keine grundlegenden Definitionen geometrischer Objekte enthält, aber es macht eine solche Möglichkeit zumindest diskussionswürdig. Was meinst du?
   Ein letzter Punkt zum Nachdenken. Wir haben oben zitiert:
   

   Def. 1.4. Eine gerade Linie liegt gleichermaßen in Bezug auf die Punkte auf sich selbst.

   Was bedeutet das? Es scheint eine seltsame Beschreibung für Euklid zu geben, denn es scheint bedeutungslos zu sein. Vergleichen Sie es mit der Definition einer geraden Linie in Definitionen von Begriffen in der Geometrie:

   Eine gerade Linie ist eine Linie, die in Bezug auf alle Punkte auf sich selbst gerade und maximal straff zwischen ihren Extremitäten liegt.

   Wieder fragen wir den Leser: Glauben Sie, dass die Definition, die in den Elementen erscheint, eine Verfälschung von Herons Definition ist und so später hinzugefügt wurde, oder denken Sie, dass Euklid eine ziemlich schlechte Definition gegeben hat, die von Heron verbessert wurde? Warum verwenden wir die Definition einer geraden Linie als kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten?