Logiklehre – Wahrheitstabellen
Jetzt mit den Prinzipien der Logiklehre sowie der grundlegenden Notation ausgestattet, ist es Zeit, das Konzept der Äquivalenz in der Logik zu erforschen. Was macht zwei zusammengesetzte Prämissen gleich?
Zwei zusammengesetzte Prämissen X & Y sind logisch äquivalent, wenn für jede Zuordnung von Wahrheitswerten zu den primitiven Prämissen, aus denen X & Y besteht, die Aussagen X & Y identische Wahrheitswerte aufweisen.
Das ist eine knifflige Definition zu schlucken, aber es ist die Anwendung dieser Definition, die wir über das Lernen kümmern. Um dies zu erreichen, werden wir mehrere, zunehmend kompliziertere Beispiele durchgehen. Lassen Sie uns zunächst einen Abstecher machen, um etwas mehr über unseren Excalibur für diese Reise zu erfahren — eines der einfachsten und dennoch leistungsfähigsten Werkzeuge für Logiker, um logische Äquivalenz zu beweisen: Wahrheitstabellen.
Eine Wahrheitstabelle ist ein visuelles Werkzeug in Form eines Diagramms mit Zeilen & Spalten, das die Wahrheit oder Falschheit einer zusammengesetzten Prämisse zeigt. Es ist eine Möglichkeit, Informationen zu organisieren, um alle möglichen Szenarien aus den bereitgestellten Räumlichkeiten aufzulisten. Beginnen wir mit dem einfachsten Beispiel, einer Wahrheitstabelle, die eine einzelne Prämissenmanipulation darstellt: eine Negation (~) einer primitiven Prämisse (P)
Wahrheitstabellen werden immer von links nach rechts gelesen, mit einer primitiven Prämisse in der ersten Spalte. Im obigen Beispiel befindet sich unsere primitive Prämisse (P) in der ersten Spalte; während die resultierende Prämisse (~ P) nach der Negation Spalte zwei ausmacht.
Es ist leicht, die Dinge hier zu überdenken — vergessen Sie nicht, dass eine Prämisse einfach eine Aussage ist, die entweder wahr oder falsch ist. Da dieses Beispiel nur eine einzige Prämisse hat, müssen wir nur nach zwei Ergebnissen suchen. was zu zwei Zeilen führt, wenn P wahr ist oder wenn es falsch ist. Zeile eins beschreibt von links nach rechts, dass, wenn P wahr ist, die Negation von P falsch ist; Zeile zwei zeigt an, dass, wenn P bereits falsch ist, die Negation von P wahr ist.
Gehen wir zu einem komplizierteren Beispiel für Wahrheitstabellen in freier Wildbahn über, indem wir ein Beispiel einfügen, das wir zuvor gesehen haben: die Implikation (->). Um dies etwas verdaulicher zu machen, weisen wir unseren Aussagen P & Q einen Kontext zu, bevor wir unsere Wahrheitstabelle aufbauen:
P: Thanos schnappte mit den Fingern
Q: 50% aller Lebewesen sind verschwunden
Bevor Sie unten schauen, denken Sie über diese Struktur nach, die die obigen Details enthält. Erstens, da wir zwei primitive Prämissen (P ,Q) haben, wissen wir, dass wir mindestens zwei Spalten benötigen; Zusätzlich sollten wir uns auf die resultierende Prämisse mit der Implikation q (P -> Q) vorbereiten, die eine weitere Spalte erfordert. Insgesamt drei Spalten.
Was ist mit Zeilen? Da wir zwei Prämissen haben, die jeweils entweder wahr oder falsch sein können, benötigen wir, um alle möglichen Szenarien zu berücksichtigen, insgesamt vier Zeilen (PS — aus dieser Beobachtung lässt sich eine nette Folgerung ableiten: Eine Wahrheitstabelle, die N Prämissen berücksichtigt, benötigt N2 Zeilen). Zeichnen wir nun diese Tabelle aus & Stellen Sie sicher, dass sie verständlich ist:
Überprüfen Sie die obige Wahrheitstabelle Zeile für Zeile. Die erste Zeile bestätigt, dass beide Thanos mit den Fingern schnippten (P) & 50% aller Lebewesen verschwanden (Q). Da beide Prämissen wahr sind, ist auch die resultierende Prämisse (die Implikation oder Bedingung) wahr:
Zeile zwei ist gleichermaßen direkt im Verständnis. Dieses Mal ist P immer noch wahr, aber Q ist jetzt falsch. Die Interpretation hier ist „Thanos schnappte mit den Fingern, aber 50% aller Lebewesen verschwanden nicht.“ Da wir die Gültigkeit der Implikation beweisen wollen, ist es sinnvoll, dass die vorherige Aussage die Gesamtprämisse als eindeutig falsch darstellt:
Die letzten beiden Zeilen sind etwas kontraintuitiver. Hier gibt es eine Abkürzung: Wir müssen uns nur die erste Spalte ansehen, um zu registrieren, dass die Implikation wahr ist. In beiden Zeilen drei & vier ist die Vorbedingung (P) falsch — das ist alles, was wir wissen müssen, unabhängig vom Wert von Prämisse Q, um die Implikation als wahr zu bestimmen.
Warum führt eine falsche Vorgeschichte immer zu einer wahren Implikation? Denn im Universum unserer logischen Aussage ist es unmöglich, alle möglichen Szenarien zu eliminieren, die Q verursacht haben könnten, da die Vorgeschichte nicht stattgefunden hat. Zum Beispiel sagt Zeile 3, dass „Thanos noch nicht mit den Fingern geschnappt hat 50% aller Lebewesen sind sowieso verschwunden“. Nun, nach allem, was wir wissen, könnte ein Meteor, eine Naturkatastrophe, eine außerirdische Invasion oder eine Vielzahl anderer Aktivitäten dieses Aussterben verursacht haben — in jedem dieser Szenarien, unabhängig davon, welche, bleibt die Implikation wahr, weil wir immer noch nicht beweisen können, was passiert, wenn er mit den Fingern schnippt.
Auf Äquivalenz beweisen
Wahrheitstabellen sind raffinierte, praktische Logik-Tracking-Diagramme, die nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Informatik, Elektrotechnik & Philosophie. Die Notation kann variieren, je nachdem, in welcher Branche Sie tätig sind, aber die grundlegenden Konzepte sind die gleichen. Sie sind ein vielseitiges, interdisziplinäres Werkzeug – aber wir haben nur an der Oberfläche ihres Nutzens gekratzt.
Jetzt mit Wahrheitstabellen ausgestattet, ist es an der Zeit, die Äquivalenz zwischen mehreren zusammengesetzten Prämissen nachzuweisen. Im nächsten Artikel dieser Serie werden wir unser Compoundierungswissen nutzen, um zu beweisen, dass zwei verschiedene zusammengesetzte Prämissen, wie die Implikation & kontra-positiv, gleich sind.
ursprünglich veröffentlicht auf
https://www.setzeus.com/
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