SU(5)Bearbeiten

SU(5) ist die einfachste Methode. Die kleinste einfache Lügengruppe, die das Standardmodell enthält und auf der die erste Große Einheitliche Theorie beruhte, ist

S U (5) ⊃ S U (3) × S U (2) × U (1) {\displaystyle SU(5)\supset SU(3)\times SU(2)\times U(1)} . Solche Gruppensymmetrien erlauben die Neuinterpretation mehrerer bekannter Teilchen, einschließlich des Photons, der W- und Z-Bosonen und des Gluons, als verschiedene Zustände eines einzelnen Teilchenfeldes. Es ist jedoch nicht offensichtlich, dass die einfachsten möglichen Entscheidungen für die erweiterte „Grand Unified“ -Symmetrie das richtige Inventar der Elementarteilchen ergeben sollten. Die Tatsache, dass alle derzeit bekannten Materieteilchen perfekt in drei Kopien der kleinsten Gruppendarstellungen von SU (5) passen und sofort die richtigen beobachteten Ladungen tragen, ist einer der ersten und wichtigsten Gründe, warum Menschen glauben, dass eine Große Einheitliche Theorie tatsächlich verwirklicht werden könnte in der Natur.

Die beiden kleinsten irreduziblen Darstellungen von SU(5) sind 5 (die definierende Darstellung) und 10. In der Standardzuordnung enthält die 5 die Ladungskonjugate des rechtshändigen Quark-Farbtriplets vom Down-Typ und eines linkshändigen Lepton-Isospin-Dubletts, während die 10 die sechs Up-Typ-Quark-Komponenten, das linkshändige Down-Typ-Quark-Farbtriplet und das rechtshändige Elektron enthält. Dieses Schema muss für jede der drei bekannten Materiegenerationen repliziert werden. Es ist bemerkenswert, dass die Theorie mit diesem Materiegehalt anomaliefrei ist.

Die hypothetischen rechtshändigen Neutrinos sind ein Singulett von SU(5), was bedeutet, dass seine Masse durch keine Symmetrie begrenzt ist; es braucht keinen spontanen Symmetriebruch, was erklärt, warum seine Masse schwer wäre. (siehe Wippmechanismus).

SO(10)Bearbeiten

Die nächste einfache Lie-Gruppe, die das Standardmodell enthält, ist

S O ( 10 ) ⊃ S U (5) ⊃ S U (3) × S U (2) × U (1) {\displaystyle SO(10)\supset SU(5)\supset SU(3)\times SU(2)\times U(1)} .

Hier ist die Vereinigung der Materie noch vollständiger, da die irreduzible Spinordarstellung 16 sowohl die 5 und 10 von SU(5) als auch ein rechtshändiges Neutrino und damit den vollständigen Partikelgehalt einer Generation des erweiterten Standardmodells mit Neutrinomassen enthält. Dies ist bereits die größte einfache Gruppe, die die Vereinigung der Materie in einem Schema erreicht, an dem nur die bereits bekannten Materieteilchen beteiligt sind (abgesehen vom Higgs-Sektor).Da verschiedene Standardmodell-Fermionen in größeren Darstellungen zusammengefasst sind, sagt GUTs spezifisch Beziehungen zwischen den Fermionenmassen voraus, wie zwischen dem Elektron und dem Down-Quark, dem Myon und dem Strange-Quark und dem Tau-Lepton und dem Bottom-Quark für SU (5) und SO (10). Einige dieser Massenbeziehungen halten ungefähr, aber die meisten nicht (siehe Georgi-Jarlskog-Massenbeziehung).

Die Bosonenmatrix für SO(10) wird gefunden, indem man die 15 × 15-Matrix aus der 10 + 5-Darstellung von SU(5) nimmt und eine zusätzliche Zeile und Spalte für das rechtshändige Neutrino hinzufügt. Die Bosonen werden gefunden, indem man jedem der 20 geladenen Bosonen (2 rechtshändige W-Bosonen, 6 massive geladene Gluonen und 12 X / Y-Bosonen) einen Partner hinzufügt und ein extra schweres neutrales Z-Boson hinzufügt, um insgesamt 5 neutrale Bosonen herzustellen. Die Bosonenmatrix hat in jeder Zeile und Spalte ein Boson oder seinen neuen Partner. Diese Paare bilden zusammen die bekannten 16D-Dirac-Spinormatrizen von SO (10).

E6Edit

In einigen Formen der Stringtheorie, einschließlich der heterotischen E8 × E8-Stringtheorie, ähnelt die resultierende vierdimensionale Theorie nach spontaner Verdichtung auf einer sechsdimensionalen Calabi-Yau–Mannigfaltigkeit einem DARM basierend auf der Gruppe E6. Bemerkenswerterweise ist E6 die einzige außergewöhnliche einfache Lie-Gruppe, die komplexe Darstellungen aufweist, eine Voraussetzung dafür, dass eine Theorie chirale Fermionen enthält (nämlich alle schwach wechselwirkenden Fermionen). Daher können die anderen vier (G2, F4, E7 und E8) nicht die Messgruppe eines DARMS sein.

Extended Grand Unified theoriesbearbeiten

Nicht-chirale Erweiterungen des Standardmodells mit vektorartigen Split-Multiplet-Teilchenspektren, die natürlicherweise in den höheren SU (N) -Eingeweiden auftreten, modifizieren die Wüstenphysik erheblich und führen zur realistischen (String-Skala) Grand Unification für konventionelle drei Quark-Lepton-Familien auch ohne Verwendung von Supersymmetrie (siehe unten). Auf der anderen Seite kann aufgrund eines neuen fehlenden VEV-Mechanismus, der in der supersymmetrischen SU (8) auftaucht, die gleichzeitige Lösung des Problems der Spurhierarchie (Doublet-Triplett-Spaltung) und des Problems der Vereinheitlichung des Geschmacks gefunden werden.Mut mit vier Familien / Generationen, SU (8): Angenommen, 4 Generationen von Fermionen anstelle von 3 ergeben insgesamt 64 Arten von Partikeln. Diese können in 64 = 8 + 56 Darstellungen von SU (8) gesetzt werden. Dies kann in SU (5) × SU (3) F × U (1) unterteilt werden, was die SU (5) -Theorie zusammen mit einigen schweren Bosonen ist, die auf die Generationsnummer einwirken.Mut mit vier Familien / Generationen, O (16): Wiederum unter der Annahme von 4 Generationen von Fermionen können die 128 Teilchen und Antiteilchen in eine einzige Spinor-Darstellung von O (16) gebracht werden.

Symplektische Gruppen und Quaternionenrepräsentationenbearbeiten

Symplektische Messgruppen könnten ebenfalls in Betracht gezogen werden. Zum Beispiel hat Sp (8) (das im Artikel als Sp (4) bezeichnet wird) symplektische Gruppe) hat eine Darstellung in Bezug auf 4 × 4-Quaternionen-Einheitsmatrizen, die eine 16-dimensionale reelle Darstellung aufweist und daher als Kandidat für eine Eichgruppe angesehen werden kann. Sp (8) hat 32 geladene Bosonen und 4 neutrale Bosonen. Seine Untergruppen umfassen SU (4), können also mindestens die Gluonen und das Photon von SU (3) × U (1) enthalten. Obwohl es in dieser Darstellung wahrscheinlich nicht möglich ist, schwache Bosonen auf chirale Fermionen einzuwirken. Eine Quaternionendarstellung der Fermionen könnte sein:L {\displaystyle l {\displaystylel}{\displaystylel}{\displaystylel}{\displaystylel}{\displaystylel}{\displaystylel}{\displaystylel}{\displaystylel}{\displaystylel}{\displaystylel}{\displaystylel}{\displaystylel}{\displaystylel}{\displaystyle l}{\displaystyle l}{\displaystylel}{\displaystylel}} u_{b}+i{\overline {u_{b}}}+jd_{b}+k{\overline {d_{b}}}\\\end{bmatrix}}_{L}}

Eine weitere Komplikation bei Quaternionendarstellungen von Fermionen ist, dass es zwei Arten der Multiplikation gibt: die linke Multiplikation und die rechte Multiplikation, die berücksichtigt werden müssen. Es stellt sich heraus, dass die Einbeziehung von links- und rechtshändigen 4 × 4-Quaternionsmatrizen der Einbeziehung einer einzelnen Rechtsmultiplikation mit einer Einheitsquaternion entspricht, die ein zusätzliches SU (2) hinzufügt und somit ein zusätzliches neutrales Boson und zwei weitere geladene Bosonen aufweist. Somit ist die Gruppe der links- und rechtshändigen 4 × 4-Quaternionsmatrizen Sp (8) × SU (2), die die Standardmodellbosonen enthält:

S U (4, H) L × H R = S p (8) × S U (2) ⊃ S U (4) × S U (2) ⊃ S U (3) × S U (2) × U (1) {\displaystyle SU(4,H)_{L}\Zeiten H_{R}=Sp(8)\zeiten SU(2)\supset SU(4)\zeiten SU(2)\supset SU(3)\zeiten SU(2)\zeiten U(1)} ψ a γ μ A μ a b ψ b + ψ a B μ ) {\displaystyle {\overline {\psi ^{a}}}\gamma _{\mu }\left(A_{\mu }^{ab}\psi ^{b}+\psi ^{a}B_{\mu }\right)}

Octonion-Darstellungenbearbeiten

Es kann festgestellt werden, dass eine Generation von 16 Fermionen in die Form eines Oktonions gebracht werden kann, wobei jedes Element des Oktonions ein 8- vektor. Werden die 3 Generationen dann in eine 3×3 hermitianische Matrix mit bestimmten Additionen für die Diagonalelemente gesetzt, dann bilden diese Matrizen eine außergewöhnliche (Grassmann-) Jordan-Algebra, die je nach Detail die Symmetriegruppe einer der außergewöhnlichen Lie-Gruppen (F4, E6, E7 oder E8) aufweist.

ψ = {\displaystyle \psi ={\begin{bmatrix}a&e&\mu \\{\overline {e}}&b&\tau \\{\ overline {\mu }}&{\overline {\tau }}&c\end{bmatrix}}} ⊂ J 3 (O ) {\displaystyle \subset J_{3}(O)}

Da es sich um Fermionen handelt, werden die Antikommutatoren der Jordan-Algebra zu Kommutatoren. Es ist bekannt, dass E6 die Untergruppe O (10) hat und daher groß genug ist, um das Standardmodell aufzunehmen. Eine E8-Spurgruppe hätte beispielsweise 8 neutrale Bosonen, 120 geladene Bosonen und 120 geladene Antibosonen. Um die 248 Fermionen im niedrigsten Multiplet von E8 zu berücksichtigen, müssten diese entweder Antiteilchen enthalten (und so Baryogenese haben), neue unentdeckte Teilchen haben oder gravitationsähnliche Bosonen (Spinverbindung) haben, die Elemente der Spinrichtung der Teilchen beeinflussen. Jeder von ihnen hat theoretische Probleme.

Jenseits von Lie-Gruppenedit

Andere Strukturen wurden vorgeschlagen, einschließlich Lie-3-Algebren und Lie-Superalgebren. Beides passt nicht zur Yang-Mills-Theorie. Insbesondere würden Superalgebren Bosonen mit den falschen Statistiken einführen. Supersymmetrie passt jedoch zu Yang-Mills.