Eigenvektor und Eigenwert
Sie haben viele Verwendungen!
Ein einfaches Beispiel ist, dass ein Eigenvektor in einer Transformation die Richtung nicht ändert:
Die Mathematik davon
Für eine quadratische Matrix A machen ein Eigenvektor und ein Eigenwert diese Gleichung wahr:
Wir werden bald sehen, wie man sie findet (wenn sie gefunden werden können), aber zuerst wollen wir einen in Aktion sehen:
Beispiel: Für diese Matrix -6 3 4 5 ist ein Eigenvektor: 1 4 mit dem passenden Eigenwert von 6
Machen wir einige Matrixmultiplikationen, um zu sehen, was wir bekommen.
Av gibt uns:
λv gibt uns :
=
Ja, sie sind gleich! Also Av = λv wie versprochen.Beachten Sie, wie wir eine Matrix mit einem Vektor multiplizieren und das gleiche Ergebnis erhalten, wie wenn wir einen Skalar (nur eine Zahl) mit diesem Vektor multiplizieren.
Wie finden wir diese Eigendinge?
Wir beginnen damit, den Eigenwert zu finden: Wir wissen, dass diese Gleichung wahr sein muss:
Av = λv
Lassen Sie uns nun eine Identitätsmatrix einfügen, so dass wir es mit matrix-vs-matrix zu tun haben:
Av = λIv
Bring all to left hand side:
Av − λIv = 0
Wenn v ungleich Null ist, können wir λ nur mit der Determinante lösen:
| A – λI | = 0
Versuchen wir gleichung zu unserem vorherigen Beispiel:
Beispiel: Löse nach λ:
Beginnen Sie mit | A − λI | = 0
|
|
|
-6
3
4
5
− λ
1
0
0
1
|
/
|
= 0 |
Welches ist:
= 0
Die Berechnung dieser Determinante ergibt:
(−6−λ)(5−λ) − 3×4 = 0
Was uns dann diese quadratische Gleichung:
λ2 + λ − 42 = 0
Und lösen es bekommt:
λ = -7 oder 6
Und ja, es gibt zwei mögliche Eigenwerte.
Jetzt kennen wir Eigenwerte, lassen Sie uns ihre passenden Eigenvektoren finden.
Beispiel (Fortsetzung): Finden Sie den Eigenvektor für den Eigenwert λ = 6:
Beginnen Sie mit:
Av = λv
Geben Sie die Werte ein, die wir kennen:
6
Nach der Multiplikation erhalten wir diese beiden Gleichungen:
| −6x + 3y | = | 6x |
| 4x + 5y | = | 6y |
Bringing all to left hand side:
| −12x + 3y | = | 0 |
| 4x − 1y | = | 0 |
Either equation reveals that y = 4x, so the eigenvector is any non-zero multiple of this:
And we get the solution shown at the top of the page:
… und auch …
=
Also Av = λv
Nun sind Sie an der Reihe, den Eigenvektor für den anderen Eigenwert von -7 zu finden
Warum?
Was ist der Zweck dieser?
Eines der coolen Dinge ist, dass wir Matrizen verwenden können, um Transformationen im Raum durchzuführen, was in der Computergrafik häufig verwendet wird.
In diesem Fall ist der Eigenvektor „die Richtung, die die Richtung nicht ändert“!
Und der Eigenwert ist die Skala der Dehnung:
- 1 bedeutet keine Änderung,
- 2 bedeutet Verdoppelung der Länge,
- -1 bedeutet, entlang der Richtung des Eigenwerts nach hinten zu zeigen
Es gibt auch viele Anwendungen in der Physik usw.
Warum „Eigen“
Eigen ist ein deutsches Wort für „eigen“ oder „typisch“
„das ist ihnen eigen“ istdeutsch für „das ist typisch für sie“
Manchmal verwenden wir im Englischen das Wort „charakteristisch“, daher kann ein Eigenvektor als „charakteristischer Vektor“ bezeichnet werden.
Nicht nur zwei Dimensionen
Eigenvektoren funktionieren perfekt in 3 und höheren Dimensionen.
Beispiel: Finden Sie die Eigenwerte für diese 3×3-Matrix: 2 0 0 0 4 5 0 4 3
Berechnen Sie zuerst A – λI:
Nun sollte die Determinante gleich Null sein:
Was ist:
(2−λ) = 0
Dies endet als kubische Gleichung, aber wenn wir es uns hier ansehen, sehen wir, dass eine der Wurzeln 2 ist (wegen 2−λ), und der Teil in den eckigen Klammern ist quadratisch, mit Wurzeln von -1 und 8.
Die Eigenwerte sind also -1, 2 und 8
Beispiel (Fortsetzung): finde den Eigenvektor, der dem Eigenwert -1 entspricht
Gib die Werte ein, die wir kennen:
| 2x | = | −x |
| 4y + 5z | = | −y |
| 4y + 3z | = | −z |
Bringing all to left hand side:
| 3x | = | 0 |
| 5y + 5z | = | 0 |
| 4y + 4z | = | 0 |
So x = 0, and y = −z and so the eigenvector is any non-zero multiple of this:
TEST Av:
(Sie können sich an den Eigenwerten von 2 und 8 versuchen)
Drehen
Zurück in der 2D−Welt macht diese Matrix die Drehung um θ:
Beispiel: Um 30° drehen
cos(30°) = √32 und sin(30°) = 12, also:
Aber wenn wir alle Punkte drehen, was ist die „Richtung, die die Richtung nicht ändert“?
Lassen Sie uns die Mathematik durcharbeiten, um herauszufinden:
Berechnen Sie zuerst A – λI:
Nun sollte die Determinante gleich Null sein:
Was ist:
(√32-λ)(√32-λ) − (-12)(12) = 0
Was zu dieser quadratischen Gleichung wird:
λ2 − (√3)λ + 1 = 0
Deren Wurzeln sind:
λ = √32 ± i2
Die Eigenwerte sind komplex!
Ich weiß nicht, wie ich Ihnen das in einem Diagramm zeigen soll, aber wir bekommen immer noch eine Lösung.
Eigenvektor
Was ist also ein Eigenvektor, der beispielsweise mit der √32 + i2-Wurzel übereinstimmt?
Beginnen Sie mit:
Av = λv
Geben Sie die Werte ein, die wir kennen:
Nach der Multiplikation erhalten wir diese beiden Gleichungen:
√32x − 12y = √32x + i2x
12x + √32y = √32y + i2y
Was vereinfacht zu:
−y = ix
x = iy
Und die Lösung ist ein beliebiges Byte ungleich Null von:
oder
Wow, so eine einfache Antwort!
Liegt das nur daran, dass wir 30° gewählt haben? Oder funktioniert es für jede Rotationsmatrix? Ich werde dich das ausarbeiten lassen! Versuchen Sie es mit einem anderen Winkel oder verwenden Sie besser noch „cos (θ)“ und „sin (θ)“.
Oh, und lassen Sie uns mindestens eine dieser Lösungen überprüfen:
div √32 − 12
Passt es dazu?
Oh ja, das tut es!
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