e (Eulersche Zahl)
Die Zahl e ist eine der wichtigsten Zahlen in der Mathematik.
Die ersten Ziffern sind:
2.7182818284590452353602874713527 (und mehr …)
Es wird oft Eulers Zahl nach Leonhard Euler genannt (ausgesprochen „Öler“).
e ist eine irrationale Zahl (sie kann nicht als einfacher Bruch geschrieben werden).
e ist die Basis der natürlichen Logarithmen (erfunden von John Napier).
e ist in vielen interessanten Bereichen zu finden, es lohnt sich also, etwas darüber zu lernen.
Berechnen
Es gibt viele Möglichkeiten, den Wert von e zu berechnen, aber keiner von ihnen gibt jemals eine völlig genaue Antwort, weil e irrational ist und seine Ziffern für immer weitergehen, ohne sich zu wiederholen.
Aber es ist bekannt, über 1 Billion Stellen Genauigkeit!
Zum Beispiel nähert sich der Wert von (1 + 1/n)n e, wenn n größer und größer wird:
| n | (1 + 1/n)n |
| 1 | 2.00000 |
| 2 | 2.25000 |
| 5 | 2.48832 |
| 10 | 2.59374 |
| 100 | 2.70481 |
| 1,000 | 2.71692 |
| 10,000 | 2.71815 |
| 100,000 | 2.71827 |
Try it! Put „(1 + 1/100000)^100000“ into the calculator:
(1 + 1/100000)100000
What do you get?
Eine andere Berechnung
Der Wert von e ist ebenfalls gleich 10! + 11! + 12! + 13! + 14! + 15! + 16! + 17! + … (etc)
(Hinweis: „!“ bedeutet Fakultät)
Die ersten Terme summieren sich zu: 1 + 1 + 12 + 16 + 124 + 1120 = 2.71666…
Tatsächlich verwendete Euler selbst diese Methode, um e auf 18 Dezimalstellen zu berechnen.
Sie können es selbst am Sigma-Rechner ausprobieren.
Remembering
Um den Wert von e erinnern (bis 10 Plätze) denken Sie daran, dieses Sprichwort (die Buchstaben zählen!):
- Bis
- express
- e
- erinnern
- bis
- merken
- a
- Satz
- bis
- merken
- dies
Oder Sie können sich an das merkwürdige Muster erinnern, dass nach der „2.7“ die Zahl „1828 “ erscheint ZWEIMAL:
2.7 1828 1828
Und danach sind die Ziffern der Winkel 45°, 90°, 45° in einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck (kein wirklicher Grund, wie es ist):
2.7 1828 1828 45 90 45
(Eine sofortige Möglichkeit, wirklich schlau zu wirken!)
Wachstum
e wird in der „natürlichen“ Exponentialfunktion verwendet:
Graph von f(x) = ex
Es hat diese wunderbare Eigenschaft: „seine Steigung ist sein Wert“
An jedem Punkt ist die Steigung von ex gleich dem Wert von ex :
Wenn x=0 ist, ist die wert ex = 1, und die Steigung = 1
wenn x=1, der Wert ex = e, und die Steigung = e
usw…
Dies gilt überall für ex und macht einige Dinge in der Infinitesimalrechnung (wo wir Steigungen finden müssen) viel einfacher.
Fläche
Die Fläche bis zu einem beliebigen x-Wert ist ebenfalls gleich ex :
Eine interessante Eigenschaft
Versuchen Sie einfach zum Spaß „Zerschneiden und multiplizieren“
Nehmen wir an, wir schneiden eine Zahl in gleiche Teile und multiplizieren diese Teile dann miteinander.
Beispiel: Schneiden Sie 10 in 2 Stücke und multiplizieren Sie sie:
Jedes „Stück“ ist 10/2 = 5 groß
5×5 = 25
Jetzt, … wie könnten wir die Antwort so groß wie möglich bekommen, welche Größe sollte jedes Stück haben?
Die Antwort: Machen Sie die Teile so nah wie möglich an „e“ in der Größe.
Beispiel: 10
Der Gewinner ist die Zahl, die „e“ am nächsten kommt, in diesem Fall 2.5.
Versuchen Sie es selbst mit einer anderen Zahl, sagen wir 100, … was bekommen Sie?
100 Dezimalstellen
Hier ist e bis 100 Dezimalstellen:
2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957
49669676277240766303535475945713821785251664274…
Fortgeschritten: Verwendung von e im Zinseszins
Oft taucht die Zahl e an unerwarteten Stellen auf. Wie im Finanzwesen.
Stellen Sie sich eine wunderbare Bank vor, die 100% Zinsen zahlt.
In einem Jahr könnten Sie $ 1000 in $ 2000 verwandeln.
Nun stell dir vor, die Bank zahlt zweimal im Jahr, das sind 50% und 50%
Auf halbem Weg durch das Jahr hast du $ 1500,
du reinvestierst für den Rest des Jahres und deine $ 1500 wachsen auf $ 2250
Du hast mehr Geld, weil du auf halbem Weg reinvestiert hast.
Das nennt man Zinseszins.
Könnten wir noch mehr bekommen, wenn wir das Jahr in Monate aufteilen würden?
Wir können diese Formel verwenden:
(1+r/n)n
r = jährlicher Zinssatz (als Dezimalzahl, also 1 nicht 100%)
n = Anzahl der Perioden innerhalb des Jahres
Unser Halbjahresbeispiel lautet:
(1+1/2)2 = 2.25
Probieren wir es monatlich aus:
(1+1/12)12 = 2.613…
Versuchen wir es 10.000 Mal im Jahr:
(1+1/10,000)10,000 = 2.718…
Ja, es geht in Richtung e (und so hat Jacob Bernoulli es zuerst entdeckt).
Warum passiert das?
Die Antwort liegt in der Ähnlichkeit zwischen:
| Compoundierungsformel: | (1 + r/n)n | |
| und | ||
| e (wenn n sich unendlich nähert): | (1 + 1/ n)n |
Die Compoundierungsformel ist der Formel für e sehr ähnlich (da sich n der Unendlichkeit nähert), nur mit einem zusätzlichen r (dem Zinssatz).
Als wir einen Zinssatz von 100% (= 1 als Dezimalzahl) wählten, wurden die Formeln gleich.
Lesen Sie Continuous Compoundierung für mehr.
Eulers Formel für komplexe Zahlen
e erscheint auch in dieser erstaunlichsten Gleichung:
ein + 1 = 0
Lesen Sie hier mehr
Transzendental
e ist auch eine transzendentale Zahl.
Leave a Reply