Tragfähigkeit und das logistische Modell

In der realen Welt mit ihren begrenzten Ressourcen kann das exponentielle Wachstum nicht unbegrenzt fortgesetzt werden. Exponentielles Wachstum kann in Umgebungen auftreten, in denen es nur wenige Individuen und reichlich Ressourcen gibt, aber wenn die Anzahl der Individuen groß genug wird, werden die Ressourcen erschöpft und die Wachstumsrate verlangsamt. Schließlich wird die Wachstumsrate Plateau oder Ebene aus. Diese Populationsgröße, die die maximale Populationsgröße darstellt, die eine bestimmte Umgebung unterstützen kann, wird als Tragfähigkeit oder \(K \) bezeichnet.

Die Formel, die wir zur Berechnung des logistischen Wachstums verwenden, addiert die Tragfähigkeit als moderierende Kraft in der Wachstumsrate. Der Ausdruck „K – N“ gibt an, wie viele Personen zu einem bestimmten Zeitpunkt zu einer Population hinzugefügt werden können, und „K – N“ geteilt durch „K“ ist der Bruchteil der für weiteres Wachstum verfügbaren Tragfähigkeit. Somit wird das exponentielle Wachstumsmodell durch diesen Faktor eingeschränkt, um die logistische Wachstumsgleichung zu erzeugen:

\ &=r_{max} \mal N \mal (\dfrac{K- N}{K}) \dfrac{dN}{dT} \\ &=rmax∗(dN/dT)=rmax∗N∗((K N)/K) \end{align*}\]

Beachten Sie, dass, wenn \ (N\) sehr klein ist, (K-N) / K nahe an \ (K / K \) oder 1 wird; Die rechte Seite der Gleichung reduziert sich auf \ (r_ {max} N \), was bedeutet, dass die Population exponentiell wächst und nicht von der Tragfähigkeit beeinflusst wird. Auf der anderen Seite, wenn \(N \) groß ist, kommen \((K-N) / K \) nahe Null, was bedeutet, dass das Bevölkerungswachstum stark verlangsamt oder sogar gestoppt wird. Somit wird das Bevölkerungswachstum in großen Populationen durch die Tragfähigkeit \(K\) stark verlangsamt. Dieses Modell ermöglicht auch ein negatives Bevölkerungswachstum oder einen Bevölkerungsrückgang. Dies tritt auf, wenn die Anzahl der Individuen in der Population die Tragfähigkeit überschreitet (weil der Wert von (K-N)/K negativ ist).Ein Graph dieser Gleichung ergibt eine S-förmige Kurve; Es ist ein realistischeres Modell des Bevölkerungswachstums als exponentielles Wachstum. Es gibt drei verschiedene Abschnitte einer S-förmigen Kurve. Anfangs ist das Wachstum exponentiell, da nur wenige Personen und genügend Ressourcen zur Verfügung stehen. Wenn dann die Ressourcen begrenzt werden, nimmt die Wachstumsrate ab. Schließlich gleicht sich das Wachstum mit der Tragfähigkeit der Umwelt aus, wobei sich die Bevölkerungsgröße im Laufe der Zeit kaum ändert.