Rational Exponents

Learning Objective(s)

· Convert radicals to expressions with rational exponents.

· Convert expressions with rational exponents to their radical equivalent.

· Use the laws of exponents to simplify expressions with rational exponents.

· Use rational exponents to simplify radical expressions.

kvadratrots skrivs oftast med ett radikalt tecken, så här, . Men det finns ett annat sätt att representera att ta en rot. Du kan använda rationella exponenter istället för en radikal. En rationell exponent är en exponent som är en bråkdel. Till exempel kan skrivas som .

kan du inte tänka dig att höja ett tal till en rationell exponent? De kan vara svåra att vänja sig vid, men rationella exponenter kan faktiskt hjälpa till att förenkla vissa problem. Låt oss utforska förhållandet mellan rationella (fraktionerade) exponenter och radikaler.

radikaler och fraktionerade exponenter är alternativa sätt att uttrycka samma sak. Du har redan sett hur kvadratrötter kan uttryckas som en exponent för kraften på en halv.

Let’s look at some more examples, but this time with cube roots. Kom ihåg att cubing ett nummer höjer det till kraften av tre. Observera att i dessa exempel är nämnaren för den rationella exponenten siffran 3.

These examples help us model a relationship between radicals and rationella exponenter: nämligen att nth-roten till ett tal kan skrivas som antingen eller .

When faced with an uttryck som innehåller en rationell exponent, du kan skriva om den med en radikal. I tabellen ovan märker du hur nämnaren för den rationella exponenten bestämmer rotens index. Så, en exponent av översätter till kvadratroten, en exponent av översätter till den femte roten eller och översätter till den åttonde roten eller .

kom ihåg att exponenter endast hänvisar till kvantiteten omedelbart till vänster om inte en grupperingssymbol används. Exemplet nedan ser mycket ut som det föregående exemplet med en viktig skillnad – det finns inga parenteser! Titta vad som händer.

Just as you can rewrite an expression with a rational exponent as a radical expression, you can express a radical expression using a rational exponent.

alla täljare för de fraktionerade exponenterna i exemplen ovan var 1. Du kan använda fraktionerade exponenter som har andra täljare än 1 för att uttrycka rötter, som visas nedan. Lägg märke till några mönster i denna tabell?

för att skriva om en radikal med en fraktionerad exponent blir kraften till vilken radicand höjs täljaren och roten blir nämnaren.

skriva fraktionella exponenter

varje radikal i formen kan skrivas med en fraktionerad exponent i formen .

förhållandet mellan och fungerar för rationella exponenter som också har en täljare på 1. Till exempel kan radical också skrivas som , eftersom ett tal förblir samma värde om det höjs till den första effekten. Du kan nu se var täljaren på 1 kommer ifrån i motsvarande form av .

låt oss utforska några radikala uttryck nu och se hur man förenklar dem. Här är ett radikalt uttryck som behöver förenklas, .

en metod för att förenkla detta uttryck är att faktor och dra ut grupper av a3, som visas nedan i detta exempel.

Du kan också förenkla detta uttryck genom att tänka på radikalen som ett uttryck med en rationell exponent och använda principen att någon radikal i formen kan skrivas med en fraktionerad exponent i formen .

Note that rational exponents are subject to all of the same rules as other exponents when they appear in algebraic expressions.

båda förenklingsmetoderna gav samma resultat, a2. Beroende på problemets sammanhang kan det vara lättare att använda den ena eller den andra metoden, men för tillfället noterar du att du kunde förenkla detta uttryck snabbare med rationella exponenter än när du använder ”utdragbar”-metoden.

låt oss prova ett annat exempel.

återigen är den alternativa metoden att arbeta med att förenkla under radikalen genom att använda factoring. För det exempel du just löst ser det ut så här.

Which of the expressions below is equal to the expression when written using a rational exponent?

A)

B)

C)

D)

låt oss prova ett mer komplicerat uttryck, . Detta uttryck har två variabler, En fraktion och en radikal. Låt oss ta det steg för steg och se om vi använder fraktionerade exponenter kan hjälpa oss att förenkla det.

låt oss börja med att förenkla nämnaren, eftersom det här är det radikala tecknet.

Tja, det tog ett tag, men du gjorde det. Du tillämpade vad du vet om fraktionerade exponenter, negativa exponenter och exponenternas regler för att förenkla uttrycket.

en radikal kan uttryckas som ett uttryck med en fraktionerad exponent genom att följa konventionen . Omskrivning av radikaler med fraktionerade exponenter kan vara användbart för att förenkla vissa radikala uttryck. När du arbetar med fraktionerade exponenter, kom ihåg att fraktionerade exponenter är föremål för alla samma regler som andra exponenter när de visas i algebraiska uttryck.