Articles

Objektteori

by admin

välformad objektredigera

om en samling objekt (symboler och symbolsekvenser) ska betraktas som ”välformad” måste en algoritm finnas för att bestämma, genom att stoppa med ett ”ja” eller ”nej” svar, huruvida objektet är välformat eller inte (i matematik förkortar en wff välformad formel). Denna algoritm kan i extrema fall kräva (eller vara) en Turing-maskin eller Turing-ekvivalent maskin som ”analyserar” symbolsträngen som presenteras som ”data” på tejpen; innan en universal Turing-maskin kan utföra en instruktion på sitt band måste den analysera symbolerna för att bestämma instruktionens exakta natur och/eller datum som kodas där. I enklare fall kan en ändlig tillståndsmaskin eller en pushdown-automat göra jobbet. Enderton beskriver användningen av” träd ” för att avgöra om en logisk formel (särskilt en sträng symboler med parenteser) är välformad eller inte. Alonzo kyrka 1934 beskriver konstruktionen av ”formler” (igen: genom att använda en rekursiv beskrivning av hur man startar en formel och sedan bygger på startsymbolen med hjälp av sammankoppling och substitution.

exempel: kyrkan specificerade sin kubakalkyl enligt följande (Följande är förenklad version som utelämnar begrepp om fri – och bunden-variabel). Detta exempel visar hur en objektteori börjar med en specifikation av ett objektsystem av symboler och relationer (i synnerhet genom användning av sammanslagning av symboler):

(1) deklarera symbolerna: {, }, (, ), kub, plus ett oändligt antal variabler a, b, c, …, x,… (2) Definiera formel: en sekvens av symboler (3) definiera begreppet ”välformad formel” (wff) rekursivt börjar med ”basis” (3.i):

  • (3.1) (basis) en variabel x är en wff
  • (3.2) om F och X är wffs, är {F}(X) en wff; om x förekommer i F eller X sägs det vara en variabel i {F}(X).
  • (3.3) om M är välformad och x förekommer i M så är ubix en wff.

(4) definiera olika förkortningar:

  • {F} förkortas till F(X) om F är en enda symbol
  • F {\displaystyle {{F}}}
    {{F}}

    förkortas till {F} (X,Y) eller F (X,Y) om F är en enda symbol

  • {{F}} förkortas till {F} (X, Y) eller F (X, Y) om F är en enda symbol

    • i..] förkortas till jacobx1x2…xn * m

  • ubigab * A(b) förkortas till 1
  • ubigab•A(A (b)) förkortas till 2, etc.

(5) definiera begreppet ”substitution” av formel N för variabel x i hela M (kyrka 1936)

Odefinierad (primitiv) objektredigera

vissa objekt kan vara ”odefinierade” eller ”primitiva” och få definition (i termer av deras beteenden) genom införandet av axiomerna.

i nästa exempel kommer de odefinierade symbolerna att vara {oz, s, s }. Axiomerna kommer att beskriva deras beteenden.

AxiomsEdit

Kleene observerar att axiomerna består av två uppsättningar symboler: (i) de odefinierade eller primitiva objekten och de som tidigare är kända. I följande exempel är det tidigare känt i följande system ( O, ※, ↀ, ∫ ) att O utgör en uppsättning av objekt (den ”domän”) ※ är ett objekt i domänen, ↀ och ∫ är symboler för relationer mellan objekt, => anger ”OM SÅ är” logisk operator, ε är den symbol som anger ”är en del av set-O”, och ”n” kommer att användas för att ange en godtycklig del av set-om-objekt O.

Efter (jag) en definition av ”string S”—ett objekt som är en symbol ※ eller sammansatta symboler ※, ↀ eller ∫, och (ii) en definition av ”well-formed” strängar — (grund) ※ och ↀS, ∫S där S är en sträng, kommer axiom:

  • ↀ※ => ※, i ord: ”OM ↀ tillämpas på objekt ※ SEDAN objektet ※ resultat.”
  • cjr O, med orden ”om cjr tillämpas på godtyckligt objekt” n ”I O är detta objekt cjr n ett element i o”.
  • ubign ubic O, ”om ubic tillämpas på godtyckligt objekt ”n”I O är detta objekt ubicn ett element av O”.
  • Sacr n = > n, ” om Sacr appliceras på objekt Sacr n resultat.”
  • ubign = > n, ”om UBIC appliceras på objekt ubicn så resulterar objekt n.”

Så vad kan vara den (avsedda) tolkningen av dessa symboler, definitioner och Axiom?

Om vi definierar ※ som ”0”, ∫ som en ”efterträdare”, och ↀ som ”föregångare” och sedan ↀ ※ => ※ visar ”rätt subtraktion” (det som ibland betecknas med symbolen ∸, där ”föregångare” subtraherar en enhet från ett nummer, alltså 0 ∸1 = 0). Strängen ” Audrey n = > n ” indikerar att om först efterföljaren appliceras på ett godtyckligt objekt n och sedan föregångaren till den tillämpas på N, resulterar den ursprungliga N.”

är denna uppsättning Axiom ”tillräcklig”? Det rätta svaret skulle vara en fråga: ”tillräckligt för att beskriva vad, i synnerhet?””Axiomerna bestämmer vilka system, definierade utifrån teorin, teorin gäller.”(Kleene 1952: 27). Med andra ord kan axiomerna vara tillräckliga för ett system men inte för ett annat.

faktum är att det är lätt att se att denna axiomuppsättning inte är mycket bra—Det är faktiskt inkonsekvent (det vill säga det ger inkonsekventa resultat, oavsett vilken tolkning det är):

exempel: definiera 0, 1 och 1 = 0. Från det första axiomet, XX = 0, så X = x 0 = 1. Men det sista axiomet specificerar att för alla godtyckliga n inklusive Michail = 0, sacron => n, så detta axiom föreskriver att sacron0 => 0, inte 1.

Observera också att axiomuppsättningen inte anger att det är nödvändigt att använda den. Eller, med undantag för fallet n = Audrey, Dzhon Dzhon n. om vi skulle inkludera dessa två Axiom skulle vi behöva beskriva de intuitiva begreppen” lika ” symboliserade av = och inte lika symboliserade av Dzhon Dzhon.