SU(5)redigera

SU(5) är den enklaste tarmen. Den minsta enkla Lie-gruppen som innehåller standardmodellen, och på vilken den första Grand Unified-teorin baserades, är

su ( 5) su ( 3) Su ( 2) Su ( 1 ) {\displaystyle SU(5)\supset SU(3)\times su(2)\times U(1)} .

sådana gruppsymmetrier tillåter omtolkning av flera kända partiklar, inklusive foton, W och Z bosoner och gluon, som olika tillstånd för ett enda partikelfält. Det är emellertid inte uppenbart att de enklaste möjliga valen för den utökade ”Grand Unified” symmetrin bör ge rätt inventering av elementära partiklar. Det faktum att alla för närvarande kända materiepartiklar passar perfekt in i tre kopior av de minsta grupprepresentationerna av SU(5) och omedelbart bär de korrekta observerade laddningarna, är en av de första och viktigaste anledningarna till att människor tror att en storslagen enhetlig teori faktiskt kan realiseras i naturen.

de två minsta irreducerbara representationerna av SU (5) är 5 (den definierande representationen) och 10. I standarduppdraget innehåller 5 laddningskonjugaten för kvarkfärgtriplet av högerhänt typ och en vänsterhänt lepton isospin-dubblett, medan 10 innehåller de sex kvarkkomponenterna av upptyp, kvarkfärgtriplet av vänsterhänt typ och högerhänt elektron. Detta system måste replikeras för var och en av de tre kända generationerna av materia. Det är anmärkningsvärt att teorin är anomali fri med denna fråga innehåll.

de hypotetiska högerhänta neutrinerna är en singlet av SU (5), vilket innebär att dess massa inte är förbjuden av någon symmetri; det behöver inte en spontan symmetri bryta vilket förklarar varför dess massa skulle vara tung. (se gungmekanism).

SO(10)Redigera

nästa enkla Lie-grupp som innehåller standardmodellen är

S O ( 10) Su ( 5) su ( 3) Su ( 2) Su ( 1 ) {\displaystyle SO(10)\supset SU(5)\supset SU(3)\times su(2)\times U(1)} .

här är föreningen av materia ännu mer fullständig, eftersom den irreducibla spinorrepresentationen 16 innehåller både 5 och 10 av SU(5) och en högerhänt neutrino, och därmed det fullständiga partikelinnehållet i en generation av den utökade standardmodellen med neutrino massor. Detta är redan den största enkla gruppen som uppnår förening av materia i ett system som endast involverar de redan kända materiapartiklarna (bortsett från Higgs-sektorn).eftersom olika standardmodellfermioner grupperas tillsammans i större representationer, förutspår tarmar specifikt relationer mellan fermionmassorna, såsom mellan elektronen och nedkvarken, muonen och den konstiga Kvarken och tau lepton och bottenkvarken för SU(5) och så(10). Några av dessa massrelationer håller ungefär, men de flesta gör det inte (se Georgi-Jarlskog massförhållande).

bosonmatrisen för SO(10) hittas genom att ta 15 15-matrisen från 10 + 5-representationen av SU (5) och lägga till en extra rad och kolumn för högerhänt neutrino. Bosonerna hittas genom att lägga till en partner till var och en av de 20 laddade bosonerna (2 högerhänta w-bosoner, 6 massiva laddade gluoner och 12 x/Y-bosoner) och lägga till en extra tung neutral Z-boson för att göra 5 neutrala bosoner totalt. Bosonmatrisen kommer att ha en boson eller dess nya partner i varje rad och kolumn. Dessa par kombineras för att skapa de bekanta 16d Dirac spinor matriserna av SO(10).

E6edit

i vissa former av strängteori, inklusive E8 Bisexuell E8 heterotisk strängteori, liknar den resulterande fyrdimensionella teorin efter spontan komprimering på en sexdimensionell Calabi-Yau grenrör en tarm baserad på gruppen E6. I synnerhet är E6 den enda exceptionella enkla Lie-gruppen som har några komplexa representationer, ett krav på att en teori ska innehålla kirala fermioner (nämligen alla svagt interagerande fermioner). Därför kan de andra fyra (G2, F4, E7 och E8) inte vara mätgruppen i en tarm.

Extended Grand Unified TheoriesEdit

Icke-kirala förlängningar av standardmodellen med vectorlike split-multiplet partikelspektra som naturligt förekommer i de högre su(N) tarmarna modifierar ökenfysiken avsevärt och leder till den realistiska (strängskala) stora föreningen för konventionella tre kvark-lepton-familjer även utan att använda supersymmetri (se nedan). Å andra sidan, på grund av en ny saknad vev-mekanism som dyker upp i den supersymmetriska SU(8) GUT kan den samtidiga lösningen på mäthierarkin (doublet-triplet-splittring) problem och problem med Förening av smak hittas.

tarmar med fyra familjer / generationer, SU (8): förutsatt att 4 generationer fermioner istället för 3 gör totalt 64 typer av partiklar. Dessa kan sättas in i 64 = 8 + 56 representationer av SU(8). Detta kan delas in i Su(5) su(3)F U(1) som är SU(5) – teorin tillsammans med några tunga bosoner som verkar på generationsnumret.

tarmar med fyra familjer / generationer, O(16): återigen antar 4 generationer av fermioner, kan 128-partiklarna och antipartiklarna sättas i en enda spinorrepresentation av O (16).

Symplektiska grupper och kvaternionrepresentationsedit

Symplektiska mätargrupper kan också övervägas. Till exempel har Sp(8) (som kallas Sp(4) i artikeln symplectic group) en representation i termer av 4 kub 4 quaternion unitary matrices som har en 16 dimensionell verklig representation och så kan betraktas som en kandidat för en gauge-grupp. Sp (8) har 32 laddade bosoner och 4 neutrala bosoner. Dess undergrupper inkluderar SU (4) Så kan åtminstone innehålla gluoner och foton av SU(3) Kubi U(1). Även om det förmodligen inte är möjligt att ha svaga bosoner som verkar på kirala fermioner i denna representation. En kvaternionrepresentation av fermionerna kan vara:

L {\displaystyle {\begin{bmatrix}e+i{\overline {e}}+jv+k{\overline {v}}\\u_{r}}+jd_{\overline {d_{r}}}\\u_{g}+i {\overline {u_{g}}}+jd_{g}+k{\overline {d_{g}}}\\u_{b}+i {\overline {u_{b}}}+jd_{b}+k{\overline {d_{b}}}\\\end{bmatrix}}_{l}}

en ytterligare komplikation med kvaternionrepresentationer av fermioner är att det finns två typer av multiplikation: vänster multiplikation och höger multiplikation som måste beaktas. Det visar sig att inklusive vänster och högerhänt 4 kub 4 kvaternionmatriser motsvarar att inkludera en enda högermultiplikation med en enhetskvaternion som lägger till en extra SU(2) och så har en extra neutral boson och ytterligare två laddade bosoner. Således är gruppen av vänster – och högerhänta 4 kub 4 kvaternionmatriser Sp (8) su (2) som inkluderar standardmodellen bosoner:

N ( 4 , T ) L × H R = S s ( 8 ) × S-U ( 2 ) ⊃ S U ( 4 ) × S-U ( 2 ) ⊃ S U ( 3 ) × S-U ( 2 ) × U ( 1 ) {\displaystyle SU(4,T)_{L}\gånger H{R}=Sp(8)\times SU(2)\supset SU(4)\times SU(2)\supset SU(3)\times SU(2)\times U(1)} ψ en μ γ ( A μ a b ψ b + ψ a B μ ) {\displaystyle {\overline {\psi ^{a}}}\gamma _{\mu }\left(A_{\mu }^{ab}\psi ^{b}+\psi ^{a}B_{\mu }\höger)}

Octonion representationsEdit

Det kan noteras att en generation av 16 fermioner kan sättas in i form av en octonion med varje del av octonion att vara en 8-vektor. Om de 3 generationerna sedan sätts i en 3×3 hermitisk matris med vissa tillägg för diagonala element bildar dessa matriser en exceptionell (Grassmann-) Jordan algebra, som har symmetrigruppen för en av de exceptionella Lie-grupperna (F4, E6, E7 eller E8) beroende på detaljerna.

{\displaystyle \psi = {\begin{bmatrix}a&e&\mu \\{\overline {e}}&b&\tau \\{\overline {\mu }}&{\overline {\tau }}&C\end{bmatrix}}} bli kommutatorer. Det är känt att E6 har undergrupp O(10) och så är stor nog att inkludera standardmodellen. En E8 gauge-grupp skulle till exempel ha 8 neutrala bosoner, 120 laddade bosoner och 120 laddade anti-bosoner. För att redogöra för de 248 fermionerna i den lägsta multipletten av E8, skulle dessa antingen behöva inkludera antipartiklar (och så har baryogenes), ha nya oupptäckta partiklar eller ha gravitationsliknande (spinnanslutning) bosoner som påverkar element i partiklarnas rotationsriktning. Var och en av dessa har teoretiska problem.

bortom Lie groupsEdit

andra strukturer har föreslagits inklusive Lie 3-algebror och Lie superalgebror. Ingen av dessa passar med Yang–Mills teori. I synnerhet Lie superalgebras skulle introducera bosoner med fel statistik. Supersymmetri passar dock med Yang-Mills.