Eigenvector och egenvärde
de har många användningsområden!
ett enkelt exempel är att en egenvektor inte ändrar riktning i en transformation:
matematiken i den
För en kvadratisk matris A, en egenvektor och egenvärde gör denna ekvation sann:
Vi kommer att se hur man hittar dem (om de kan hittas) snart, men först låt oss se en i aktion:
exempel: för denna matris -6 3 4 5 är en egenvektor: 1 4 med matchande egenvärde av 6
Låt oss göra några matrix multiplicerar för att se vad vi får.
Av ger oss:
:
ja de är lika! Så av = ubicv som utlovat.
Lägg märke till hur vi multiplicerar en matris med en vektor och får samma resultat som när vi multiplicerar en skalär (bara ett tal) med den vektorn.
Hur hittar vi dessa eigen saker?
vi börjar med att hitta egenvärdet: vi vet att denna ekvation måste vara sant:
Av = λv
låt oss Nu sätta i en identitets matrix så att vi har att göra med matrix-vs-matris:
Av = λIv
Ta med alla till vänster sida:
Av − λIv = 0
Om v är icke-noll då kan vi lösa för λ med bara avgörande:
| A − λI | = 0
Låt oss försöka att ekvationen på vårt tidigare exempel:
Exempel: Lösa för λ:
börja med | A − ubigi | = 0
|
|
|
-6
3
4
5
−
0
0
1
|
|
|
vilket är:
= 0
att Beräkna determinanten blir:
(−6−λ)(5−λ) − 3×4 = 0
Som sedan får oss denna andragradsekvation:
λ2 + λ − 42 = 0
Och lösa det blir:
λ = -7 eller 6
Och ja, det finns två möjliga egenvärden.
Nu vet vi egenvärden, låt oss hitta deras matchande egenvektorer.
exempel (fortsättning): hitta Egenvektorn för egenvärdet 6:
börja med:
av = ubicv
sätt i de värden vi vet:
efter multiplicering får vi dessa två ekvationer:
| −6x + 3y | = | 6x |
| 4x + 5y | = | 6y |
Bringing all to left hand side:
| −12x + 3y | = | 0 |
| 4x − 1y | = | 0 |
Either equation reveals that y = 4x, so the eigenvector is any non-zero multiple of this:
And we get the solution shown at the top of the page:
… och också …
så av = ubicv
nu är det din tur att hitta egenvektorn för den andra egenvärde av -7
varför?
vad är syftet med dessa?
en av de coola sakerna är att vi kan använda matriser för att göra transformationer i rymden, vilket används mycket i datorgrafik.
i så fall är egenvektorn” den riktning som inte ändrar riktning”!
och egenvärdet är sträckans skala:
- 1 betyder ingen förändring,
- 2 betyder fördubbling i längd,
- -1 betyder att man pekar bakåt längs egenvärdet riktning
det finns också många tillämpningar inom fysik etc.
varför ”Eigen”
Eigen är ett tyskt ord som betyder ”egen” eller ”typisk”
”das ist ihnen eigen” isGerman för ”som är typiskt för dem”
Ibland på engelska använder vi ordet ”karakteristisk”, så en egenvektor kan kallas en ”karakteristisk vektor”.
inte bara två dimensioner
egenvektorer fungerar perfekt i 3 och högre dimensioner.
exempel: hitta egenvärdena för denna 3×3-matris: 2 0 0 0 4 5 0 4 3
beräkna först a-ubiki:
nu bör determinanten vara lika med noll:
vilket är:
(2−ci) = 0
detta slutar vara en kubisk ekvation, men bara titta på det här ser vi en av rötterna är 2 (på grund av 2−ci), och delen inuti hakparenteserna är kvadratisk, med rötter på -1 och 8.
så egenvärdena är -1, 2 och 8
exempel (fortsättning): hitta Egenvektorn som matchar egenvärdet -1
sätt i de värden vi vet:
efter multiplicering får vi dessa ekvationer:
| 2x | = | −x |
| 4y + 5z | = | −y |
| 4y + 3z | = | −z |
Bringing all to left hand side:
| 3x | = | 0 |
| 5y + 5z | = | 0 |
| 4y + 4z | = | 0 |
So x = 0, and y = −z and so the eigenvector is any non-zero multiple of this:
TEST Av:
och:
hoppa av = asiv, yay!
(Du kan prova din hand på egenvärdena för 2 och 8)
roterande
tillbaka i 2D−världen igen, kommer denna matris att göra rotationen med Jacob:
exempel: Rotera med 30°
cos(30°) = √32 och sin(30°) = 12, så här:
Men om vi roterar alla punkter, vad är det för ”riktning som inte ändrar riktning”?
Låt oss arbeta genom matematiken för att ta reda på:
beräkna först a-ubiki:
Nu determinanten skall vara lika med noll:
Som är:
(√32−λ)(√32−λ) − (-12)(12) = 0
Som blir denna andragradsekvation:
λ2 − (√3) (λ + 1 = 0
Vars rötter är:
λ = √32 ± i2
egenvärden är komplexa!
Jag vet inte hur man visar det på en graf, men vi får fortfarande en lösning.
Eigenvector
Så, vad är en egenvektor som matchar, säg, roten till 32 + I2?
börja med:
av = ubicv
sätt i de värden vi vet:
Efter att multiplicera vi få dessa två ekvationer:
√32x − 12y = √32x + i2x
12x + √32y = √32y + i2y
Som förenklar att:
−y = – ix
x = iy
Och lösningen är en icke-noll-byte av:
eller
wow, ett så enkelt svar!
är det här bara för att vi valde 30 kg? Eller fungerar det för någon rotationsmatris? Jag ska låta dig räkna ut det! Prova en annan vinkel, eller använd ännu bättre ”cos(bisexuell)” och ”sin(Bisexuell)”.
Åh, och låt oss kontrollera minst en av dessa lösningar:
matchar det här?
åh ja det gör det!
Leave a Reply