numret e är ett av de viktigaste siffrorna i matematiken.

de första siffrorna är:

2.7182818284590452353602874713527 (och mer …)

e är ett irrationellt tal (det kan inte skrivas som en enkel fraktion).

e är basen för de naturliga logaritmerna (uppfunnad av John Napier).

e finns i många intressanta områden, så det är värt att lära sig om.

beräkning

det finns många sätt att beräkna värdet på e, men ingen av dem ger någonsin ett helt exakt svar, eftersom e är irrationellt och dess siffror fortsätter för alltid utan att upprepa.

men det är känt att över 1 biljon siffror noggrannhet!

till exempel närmar sig värdet på (1 + 1 / n)n e När n blir större och större:

en annan beräkning

värdet på e är också lika med 10! + 11! + 12! + 13! + 14! + 15! + 16! + 17! + … (etc)

(Obs:”!”betyder faktoriell)

de första termerna lägger till: 1 + 1 + 12 + 16 + 124 + 1120 = 2.71666…i själva verket använde Euler själv denna metod för att beräkna e till 18 decimaler.

Du kan prova det själv på Sigma-kalkylatorn.

kom ihåg

för att komma ihåg värdet på e (till 10 platser) kom bara ihåg detta ordstäv (räkna bokstäverna!):

• till
• express
• e
• kom ihåg
• till
• memorera
• mening
• till
• memorera
• detta

eller du kan komma ihåg det nyfikna mönstret att efter ”2.7” visas numret ”1828” två gånger:

2.7 1828 1828

och efter det är siffrorna i vinklarna 45 kg, 90 kg, 45 kg i en rätvinklig isosceles triangel (ingen riktig anledning, hur det är):

2.7 1828 1828 45 90 45

(ett omedelbart sätt att verka riktigt smart!)

tillväxt

e används i den” naturliga ” exponentiella funktionen:

graf av f(x) = ex

den har denna underbara egenskap: ”dess lutning är dess värde”

detta är sant var som helst för ex, och gör vissa saker i kalkyl (där vi behöver hitta backar) mycket enklare.

Area

området upp till ett x-värde är också lika med ex :

en intressant egenskap

bara för skojs skull, försök”Klipp upp sedan multiplicera”

låt oss säga att vi skär ett tal i lika delar och multiplicerar sedan dessa delar tillsammans.

Nu, … hur kan vi få svaret att vara så stort som möjligt, vilken storlek ska varje bit vara?

svaret: gör delarna så nära som möjligt till ”e” i storlek.

vinnaren är numret närmast ”e”, i detta fall 2.5.

prova det med ett annat nummer själv, säg 100,… vad får du?

100 decimaler

här är e till 100 decimaler:

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957
49669676277240766303535475945713821785251664274…

Avancerat: användning av E i sammansatt intresse

ofta visas numret e på oväntade platser. Som inom finans.

kan vi få ännu mer om vi bröt upp året i månader?

Vi kan använda denna formel:

(1+r/n)n

r = årlig ränta (som decimal, så 1 inte 100%)
n = antal perioder inom året

vårt halvårsexempel är:

(1+1/2)2 = 2.25

låt oss prova det varje månad:

(1+1/12)12 = 2.613…

låt oss prova det 10 000 gånger om året:

(1+1/10,000)10,000 = 2.718…

Ja, Det är på väg mot e (och är hur Jacob Bernoulli först upptäckte det).

varför händer det?

svaret ligger i likheten mellan:

Blandningsformeln är väldigt lik formeln för e (som n närmar sig oändligheten), bara med en extra r (räntan).

När vi valde en ränta på 100% (= 1 som decimal) blev formlerna desamma.

Läs kontinuerlig sammansättning för mer.

Eulers formel för komplexa tal

e visas också i denna mest fantastiska ekvation:

ein + 1 = 0

Läs mer här

Transcendental

e är också ett transcendentalt tal.