introduktion

matematisk ekvationer är inte bara användbara — många är ganska vackra. Och många forskare erkänner att de ofta är förtjust i särskilda formler, inte bara för deras funktion, utan för deras form och de enkla, poetiska sanningarna de innehåller.

medan vissa kända ekvationer, som Albert Einsteins E = mc^2, hog mest av den offentliga ära, har många mindre kända formler sina mästare bland forskare. LiveScience frågade fysiker, astronomer och matematiker för deras favoritekvationer; här är vad vi hittade:

allmän relativitet

ekvationen ovan formulerades av Einstein som en del av hans banbrytande allmänna relativitetsteori 1915. Teorin revolutionerade hur forskare förstod gravitationen genom att beskriva kraften som en vridning av rymd-och tidens Tyg.

” det är fortfarande fantastiskt för mig att en sådan matematisk ekvation kan beskriva vad rymdtid handlar om”, säger Space Telescope Science Institute astrofysiker Mario Livio, som nominerade ekvationen som sin favorit. ”Allt Einsteins sanna geni är förkroppsligat i denna ekvation.”

”den högra sidan av denna ekvation beskriver energiinnehållet i vårt universum (inklusive den” mörka energin ” som driver den nuvarande kosmiska accelerationen), förklarade Livio. ”Den vänstra sidan beskriver rymdtidens geometri. Jämställdheten återspeglar det faktum att i Einsteins allmänna relativitet bestämmer massa och energi geometri och samtidigt krökningen, vilket är en manifestation av det vi kallar gravitation.”

” det är en mycket elegant ekvation”, säger Kyle Cranmer, en fysiker vid New York University och tillade att ekvationen avslöjar förhållandet mellan rymdtid och materia och energi. ”Denna ekvation berättar hur de är relaterade – hur solens närvaro vrider rymdtid så att jorden rör sig runt den i omlopp etc. Det berättar också hur universum utvecklats sedan Big Bang och förutspår att det borde finnas svarta hål.”

standardmodellen

en annan av fysikens regerande teorier beskriver standardmodellen samlingen av grundläggande partiklar som för närvarande tros utgöra vårt universum.

teorin kan inkapslas i en huvudekvation som kallas standardmodellen Lagrangian (uppkallad efter den franska matematikern och astronomen Joseph Louis Lagrange från 18-talet), som valdes av teoretisk fysiker Lance Dixon från SLAC National Accelerator Laboratory i Kalifornien som sin favoritformel.

” det har framgångsrikt beskrivit alla elementära partiklar och krafter som vi hittills har observerat i laboratoriet — utom gravitation”, berättade Dixon LiveScience. ”Det inkluderar naturligtvis den nyligen upptäckta Higgs (som) boson, phi i formeln. Det är helt självkonsistent med kvantmekanik och speciell relativitet.”

standardmodellteorin har ännu inte förenats med allmän relativitet, varför den inte kan beskriva tyngdkraften.

kalkyl

medan de två första ekvationerna beskriver specifika aspekter av vårt universum, kan en annan favoritekvation tillämpas på alla slags situationer. De grundläggande sats av kalkyl utgör ryggraden i den matematiska metoden som kallas kalkyl, och länkar dess två huvudideer, begreppet integral och begreppet derivat.

” i enkla ord, säger att netto förändring av en jämn och kontinuerlig kvantitet, såsom en sträcka reste, över ett givet tidsintervall (dvs. skillnaden i värdena på kvantiteten vid slutpunkterna i tidsintervallet) är lika med integralen av förändringshastigheten för den kvantiteten, dvs. integralen av hastigheten”, säger Melkana Brakalova-Trevithick, ordförande för matteavdelningen vid Fordham University, som valde denna ekvation som sin favorit. ”Den grundläggande satsen för kalkyl (FTC) tillåter oss att bestämma nettoförändringen över ett intervall baserat på förändringshastigheten över hela intervallet.”

frön av kalkyl började i antiken, men mycket av det sattes ihop på 17-talet av Isaac Newton, som använde kalkyl för att beskriva planeternas rörelser runt solen.

Pythagoras sats

en” oldie men goodie ” ekvation är den berömda Pythagoras sats, som varje nybörjare geometri elev lär sig.

denna formel beskriver hur kvadraten av längden på hypotenusen, c, (den längsta sidan av en rätt triangel) för varje rätvinklig triangel är lika med summan av kvadraterna för längderna på de andra två sidorna (A och b). Således a^2 + b^2 = c^2

”det allra första matematiska faktumet som förvånade mig var Pythagoras sats”, säger matematiker Daina Taimina från Cornell University. ”Jag var ett barn då och det verkade mig så fantastiskt att det fungerar i geometri och det fungerar med siffror!”

1 = 0,9999999999….

denna enkla ekvation, som anger att kvantiteten 0,999, följt av en oändlig sträng av nior, är ekvivalent med en, är matematiker Steven strogatz favorit vid Cornell University.

”Jag älskar hur enkelt det är-alla förstår vad det säger – men hur provocerande det är”, sa Strogatz. ”Många tror inte att det kan vara sant. Det är också vackert balanserat. Vänster sida representerar början på matematiken; den högra sidan representerar oändlighetens mysterier.”

speciell relativitet

Einstein gör listan igen med sina formler för speciell relativitet, som beskriver hur tiden och rymden är inte absoluta begrepp, utan snarare relativa beroende på observatörens hastighet. Ekvationen ovan visar hur tiden utvidgar eller saktar ner, desto snabbare rör sig en person i vilken riktning som helst.

”poängen är att det är väldigt enkelt”, säger Bill Murray, en partikelfysiker vid CERN-laboratoriet i Geneva. ”Det finns inget där en student på A-nivå inte kan göra, inga komplexa derivat och spåralgebror. Men vad det förkroppsligar är ett helt nytt sätt att se på världen, en hel inställning till verkligheten och vår relation till den. Plötsligt sveps det styva oföränderliga kosmos bort och ersätts med en personlig Värld, relaterad till vad du observerar. Du flyttar från att vara utanför universum, tittar ner, till en av komponenterna inuti den. Men begreppen och matematiken kan förstås av alla som vill.”

Murray sa att han föredrog de speciella relativitetsekvationerna framför de mer komplicerade formlerna i Einsteins senare teori. ”Jag kunde aldrig följa matematiken i allmän relativitet,” sa han.

Eulers ekvation

denna enkla formel inkapslar något rent om sfärernas natur:

” det står att om du skär ytan på en sfär upp i ansikten, kanter och hörn och låter F vara antalet ansikten, e antalet kanter och V antalet hörn, får du alltid V – E + F = 2″, säger Colin Adams, matematiker vid Williams College i Massachusetts.

”så, till exempel, ta en tetraeder, bestående av fyra trianglar, sex kanter och fyra hörn,” förklarade Adams. ”Om du blåste hårt in i en tetraeder med flexibla ansikten, kan du avrunda den till en sfär, så i den meningen kan en sfär skäras i fyra ansikten, sex kanter och fyra hörn. Och vi ser att V – e + F = 2. Samma gäller för en pyramid med fem ansikten-fyra triangulära, och en kvadrat — åtta kanter och fem hörn,” och någon annan kombination av ansikten, kanter och hörn.

”ett väldigt coolt faktum! Kombinatoriken i hörn, kanter och ansikten fångar något mycket grundläggande om formen på en sfär,” sa Adams.

Euler-Lagrange ekvationer och Noether ’s theorem

”dessa är ganska abstrakta, men otroligt kraftfulla”, sa nyus Cranmer. ”Det coola är att detta sätt att tänka på fysik har överlevt några stora revolutioner i fysiken, som kvantmekanik, relativitet etc.”

Här står L för Lagrangian, som är ett mått på energi i ett fysiskt system, såsom fjädrar eller spakar eller grundläggande partiklar. ”Att lösa denna ekvation berättar hur systemet kommer att utvecklas med tiden,” sa Cranmer.

en spinoff av Lagrangian ekvationen kallas Noether ’ s theorem, efter den tyska matematikern Emmy Noether från 20-talet. ”Denna sats är verkligen grundläggande för fysiken och symmetrins roll”, sa Cranmer. ”Informellt är satsen att om ditt system har en symmetri, så finns det en motsvarande bevarandelag. Tanken att fysikens grundläggande lagar är desamma idag som imorgon (tidssymmetri) innebär till exempel att energi bevaras. Tanken att fysikens lagar är desamma här som de är i yttre rymden innebär att momentum bevaras. Symmetri är kanske drivkonceptet i grundläggande fysik, främst på grund av bidrag.”

Callan-Symanzik ekvationen

”Callan-symanzik ekvation är en viktig första principer ekvation från 1970, avgörande för att beskriva hur naiva förväntningar kommer att misslyckas i en kvantvärld”, säger teoretisk fysiker Matt strassler från Rutgers University.

ekvationen har många tillämpningar, inklusive att tillåta fysiker att uppskatta massan och storleken på protonen och neutronen, som utgör atomkärnorna.

grundläggande fysik berättar för oss att gravitationskraften och den elektriska kraften mellan två objekt är proportionell mot det inversa avståndet mellan dem kvadrerade. På en enkel nivå gäller detsamma för den starka kärnkraften som binder protoner och neutroner tillsammans för att bilda atomkärnor, och som binder kvarkar tillsammans för att bilda protoner och neutroner. Små kvantfluktuationer kan dock förändra en Krafts beroende av avstånd, vilket har dramatiska konsekvenser för den starka kärnkraften.

” det förhindrar att denna kraft minskar på långa avstånd och får den att fälla kvarkar och kombinera dem för att bilda protoner och neutroner i vår värld”, sa Strassler. ”Vad Callan-Symanzik-ekvationen gör är att relatera denna dramatiska och svåra att beräkna effekt, viktig när är ungefär storleken på en proton, till mer subtila men lättare att beräkna effekter som kan mätas när är mycket mindre än en proton.”

den minimala ytekvationen

”den minimala ytekvationen kodar på något sätt de vackra tvålfilmerna som bildas på trådgränser när du doppar dem i tvålvatten,” sa matematiker Frank Morgan från Williams College. ”Det faktum att ekvationen är ”olinjär”, som involverar krafter och produkter av derivat, är den kodade matematiska antydan för det överraskande beteendet hos tvålfilmer. Detta står i kontrast till mer kända linjära partiella differentialekvationer, såsom värmeekvationen, vågekvationen och Schr Acqydinger ekvation för kvantfysik.”