bärkapacitet och den logistiska modellen

i den verkliga världen, med sina begränsade resurser, kan exponentiell tillväxt inte fortsätta på obestämd tid. Exponentiell tillväxt kan förekomma i miljöer där det finns få individer och rikliga resurser, men när antalet individer blir tillräckligt stort kommer resurserna att tömmas, vilket saktar tillväxten. Så småningom kommer tillväxttakten att platå eller nivåera. Denna befolkningsstorlek, som representerar den maximala befolkningsstorleken som en viss miljö kan stödja, kallas bärkapaciteten, eller \(K\).

formeln vi använder för att beräkna logistisk tillväxt lägger till bärförmågan som en modererande kraft i tillväxttakten. Uttrycket ” K – N ”indikerar hur många individer som kan läggas till en befolkning i ett givet skede, och” K – N ”dividerat med” K ” är den bråkdel av bärkapaciteten som är tillgänglig för ytterligare tillväxt. Således begränsas den exponentiella tillväxtmodellen av denna faktor för att generera den logistiska tillväxtekvationen:

\ &=r_{max} \gånger N \gånger (\dfrac{K – N}{K}) \dfrac{DN}{dT} \\ &=Rmax(DN/dT)=Rmax (Rmax) n ((K n)/K) \end{align*}\]

Observera att när \(n\) är mycket liten, (k-n)/k blir nära \(K / K\) eller 1; ekvationens högra sida minskar till \(R_{Max}n\), vilket innebär att befolkningen växer exponentiellt och påverkas inte av bärkapaciteten. Å andra sidan, när \(N\) är stor, \((K-N)/K\) kommer nära noll, vilket innebär att befolkningstillväxten kommer att bromsas kraftigt eller till och med stoppas. Således minskar befolkningstillväxten kraftigt i stora populationer av bärkapaciteten \(K\). Denna modell möjliggör också negativ befolkningstillväxt eller befolkningsminskning. Detta inträffar när antalet individer i befolkningen överstiger bärkapaciteten (eftersom värdet på (K-N)/K är negativt).

en graf över denna ekvation ger en S-formad kurva; det är en mer realistisk modell av befolkningstillväxt än exponentiell tillväxt. Det finns tre olika sektioner till en S-formad kurva. Ursprungligen är tillväxten exponentiell eftersom det finns få individer och gott om resurser tillgängliga. När resurserna börjar bli begränsade minskar tillväxttakten. Slutligen ökar tillväxten vid miljöns bärkraft, med liten förändring i befolkningsstorlek över tiden.