Vectorul propriu și valoarea proprie
au multe utilizări!
Un exemplu simplu este că un vector propriu nu schimbă direcția într-o transformare:
matematica acestuia
pentru o matrice pătrată A, un vector propriu și o valoare proprie fac această ecuație adevărată:
vom vedea cum să le găsim (dacă pot fi găsite) în curând, dar mai întâi să vedem unul în acțiune:
exemplu: pentru această matrice -6 3 4 5 un vector propriu este: 1 4 cu valoarea proprie potrivită a 6
să facem câteva multiplicări de matrice pentru a vedea ce obținem.
Av ne dă:
:
da, sunt egali! Deci, av = OLV așa cum a promis.
observați cum înmulțim o matrice cu un vector și obținem același rezultat ca atunci când înmulțim un scalar (doar un număr) cu acel vector.
Cum găsim aceste lucruri proprii?
începem prin a găsi valoarea proprie: știm că această ecuație trebuie să fie adevărată:
Av = λv
Acum, să ne pună într-o identitate matrice deci avem de-a face cu matrix-vs-matrice:
Av = λIv
Aduce toate la stanga:
Av − λIv = 0
Dacă v este non-zero, atunci putem rezolva pentru λ folosind doar determinantul:
| A − λI | = 0
Să încercăm această ecuație pe exemplul anterior:
Exemplu: Rezolva pentru λ:
începe cu | a − unquti | = 0
|
|
|
-6
3
4
5
− XV
1
0
0
1
|
|
|
= 0 |
care este:
= 0
în Calcul faptul că determinant devine:
(−6−λ)(5−λ) − 3×4 = 0
Care apoi ne ajunge această Ecuație de gradul doi:
λ2 + λ − 42 = 0
Și rezolvarea devine:
λ = -7 sau 6
Și da, sunt posibile două valori proprii.
acum știm valorile proprii, să le găsim vectorii proprii potriviți.
exemplu (continuare): găsiți vectorul propriu pentru valoarea proprie (h3>
Start with:
Av = XVV
puneți valorile pe care le cunoaștem:
după înmulțire obținem aceste două ecuații:
| −6x + 3y | = | 6x |
| 4x + 5y | = | 6y |
Bringing all to left hand side:
| −12x + 3y | = | 0 |
| 4x − 1y | = | 0 |
Either equation reveals that y = 4x, so the eigenvector is any non-zero multiple of this:
And we get the solution shown at the top of the page:
… și, de asemenea …
deci, av = XVV
acum este rândul tău să găsești vectorul propriu pentru celălalt valoarea proprie a -7
de ce?
care este scopul acestora?
unul dintre lucrurile interesante este că putem folosi matrice pentru a face transformări în spațiu, care este folosit foarte mult în grafica computerizată.
în acest caz, vectorul propriu este „direcția care nu schimbă direcția” !
și valoarea proprie este scara de întindere:
- 1 înseamnă nici o schimbare,
- 2 înseamnă dublarea în lungime,
- -1 înseamnă arătând înapoi de-a lungul direcției valoarea proprie
există, de asemenea, multe aplicații în fizică, etc.
De ce „Eigen”
Eigen este un cuvânt German care înseamnă „propriu” sau „tipic”
„das ist Ihnen eigen” isGerman pentru „care este tipic pentru ei”
uneori în engleză folosim cuvântul „caracteristic”, deci un vector propriu poate fi numit „vector caracteristic”.
nu doar două dimensiuni
vectorii proprii funcționează perfect în dimensiuni 3 și mai mari.
exemplu: găsiți valorile proprii pentru această matrice 3×3: 2 0 0 0 4 5 0 4 3
Mai întâi se calculează a-oquti:
acum determinantul ar trebui să fie egal cu zero:
ceea ce este:
(2−XV) = 0
aceasta ajunge să fie o ecuație cubică, dar doar uitându−ne la ea aici vedem că una dintre rădăcini este 2 (din cauza a 2-XV), iar partea din interiorul parantezelor pătrate este pătratică, cu rădăcini de -1 și 8.
deci valorile proprii sunt -1, 2 și 8
exemplu (continuare): găsiți vectorul propriu care se potrivește cu valoarea proprie -1
puneți valorile pe care le cunoaștem:
după înmulțire obținem aceste ecuații:
| 2x | = | −x |
| 4y + 5z | = | −y |
| 4y + 3z | = | −z |
Bringing all to left hand side:
| 3x | = | 0 |
| 5y + 5z | = | 0 |
| 4y + 4z | = | 0 |
So x = 0, and y = −z and so the eigenvector is any non-zero multiple of this:
TEST Av:
:
salt av = univcv, ura!
(puteți încerca să vă parte la valorile proprii ale 2 și 8)
rotirea
înapoi în lumea 2D din nou, această matrice va face rotația de către hectolitru:
exemplu: Roti cu 30°
cos(30°) = √32 și sin(30°) = 12, astfel:
Dar dacă ne-am roti în toate punctele, ceea ce este „direcția asta nu schimba directia”?
să lucrăm prin matematică pentru a afla:
Mai întâi calculați A-unquti:
Acum determinant trebuie să fie egal cu zero:
Care este:
(√32−λ)(√32−λ) − (-12)(12) = 0
Care devine această Ecuație de gradul doi:
λ2 − (√3)λ + 1 = 0
Căror rădăcini sunt:
λ = √32 ± i2
valorile proprii sunt complexe!
nu știu cum să vă arăt asta pe un grafic, dar tot avem o soluție.
vectorul propriu
deci, ce este un vector propriu care se potrivește, să zicem, cu rădăcina 32 + i2 de la sută?
incepeti cu:
Av = XVV
puneti valorile pe care le cunoastem:
După înmulțirea vom obține aceste două ecuații:
√32x − 12y = √32x + i2x
12x + √32y = √32y + i2y
Care simplifica la:
−y = ix
x = iy
Iar soluția este non-zero byte de:
sau
wow, un astfel de răspuns simplu!
este acest lucru doar pentru că am ales 30 la sută? Sau funcționează pentru orice matrice de rotație? Te las să rezolvi asta! Încercați un alt unghi, sau mai bine utilizați în continuare” cos(XV) „și”sin(XV)”.
Oh, și să ne verifica cel puțin una dintre aceste soluții:
se potrivește cu asta?
oh, da, o face!
Leave a Reply