obiecte bine formatedit

dacă o colecție de obiecte (Simboluri și secvențe de simboluri) trebuie considerată „bine formată”, trebuie să existe un algoritm pentru a determina, prin oprirea cu un răspuns „da” sau „nu”, dacă obiectul este sau nu bine format (în matematică un wff abreviază formula bine formată). Acest algoritm, la extrem, ar putea necesita (sau fi) o mașină Turing sau o mașină echivalentă Turing care „analizează” șirul de simboluri așa cum este prezentat ca „date” pe banda sa; înainte ca o mașină Turing universală să poată executa o instrucțiune pe banda sa, trebuie să analizeze simbolurile pentru a determina natura exactă a instrucțiunii și/sau a datelor codificate acolo. În cazuri mai simple, o mașină cu stare finită sau un automat de împingere poate face treaba. Enderton descrie utilizarea „copacilor” pentru a determina dacă este sau nu o formulă logică (în special un șir de simboluri cu paranteze) este bine format. Biserica Alonzo 1934 descrie construcția „formulelor” (din nou: secvențe de simboluri), așa cum este scris în calculul său de la sută prin utilizarea unei descrieri recursive a modului de a începe o formulă și apoi de a construi pe simbolul de pornire folosind concatenare și substituție.

exemplu: Church și-a specificat calculul lui de la nivel de ecuație după cum urmează (versiunea următoare este simplificată, lăsând la o parte noțiunile de variabilă liberă și legată). Acest exemplu arată cum o teorie a obiectelor începe cu o specificare a unui sistem de obiecte de simboluri și relații (în special prin utilizarea concatenării simbolurilor):

(1) declarați simbolurile: {,}, (,), Irak, plus un număr infinit de variabile a, b, c, …, x,… (2) definiți formula: o secvență de simboluri (3) definiți noțiunea de „formulă bine formată” (wff) recursiv începând cu „baza” (3.i):

• (3.1) (bază) o variabilă x este un wff
• (3.2) dacă F și X sunt WFF, atunci {F}(X) este un wff; dacă x apare în F sau X atunci se spune că este o variabilă în {F}(X).
• (3.3) dacă M este bine format și x apare în M, atunci XX este un wff.

(4) definiți diverse abrevieri:

• {F} prescurtează la F(X) dacă F este un singur simbol
• F {\displaystyle {{F}}}
  

  abreviază la {F}(X,Y) sau F(X,Y) dacă F este un singur simbol

• x1 x2…] prescurtează la x1x2…xn•m
• •A(B) abrevieri la 1
• * A(A(b)) abrevieri la 2, etc.

(5) definește noțiunea de „substituție” a formulei N pentru variabila x pe tot parcursul M (Biserica 1936)

obiecte nedefinite (primitive)

anumite obiecte pot fi „nedefinite” sau „primitive” și pot primi definiție (în termenii comportamentelor lor) prin introducerea axiomelor.

în exemplul următor, simbolurile nedefinite vor fi {. Axiomele vor descrie comportamentele lor.

Axiomedit

Kleene observă că axiomele sunt alcătuite din două seturi de simboluri: (i) obiectele nedefinite sau primitive și cele care sunt cunoscute anterior. În următorul exemplu, este cunoscut anterior în următorul sistem ( O, ※, ↀ, ∫ ) pe care O constituie un set de obiecte („domeniu”), ※ este un obiect în domeniu, ↀ și ∫ sunt simboluri pentru relațiile dintre obiecte, => indică „DACĂ-ATUNCI” operator logic, ε este simbolul care indică faptul că „este un element de stabilit O”, și „n” va fi folosit pentru a indica un element arbitrar de set-de-obiecte O.

După (i) o definiție a „string S”—un obiect care este un simbol ※ sau concatenate simboluri ※, ↀ sau ∫ și (ii) o definiție a „bine-formate” siruri de caractere — (baza) ※ și ↀS, ∫S unde S este orice șir de caractere, vin axiomele:

• ↀ※ => ※, în cuvinte: „DACĂ ↀ este aplicat la obiect ※ ATUNCI obiect ※ rezultate.”
• XlX n XlX O, cu cuvintele „dacă se aplică XlX obiectului arbitrar” n „în O, atunci acest obiect XlX n este un element al lui O”.
• XVN o, ” dacă se aplică la un obiect arbitrar „n” în O, atunci acest obiect este un element al lui o”.
• n => n, „în cazul în care se aplică la obiect, se aplică la obiect, atunci rezultatul este N.”
• XVN => n, „în cazul în care se aplică la obiect, atunci se aplică la obiect n rezultate.”

Deci, care ar putea fi interpretarea (intenționată) a acestor simboluri, definiții și axiome?

Dacă definim ※ ca „0”, ∫ ca „succesor”, ora douăzeci și două ca „predecesorul” apoi ↀ ※ => ※ indică „buna scădere” (uneori desemnat prin simbolul ∸, unde „predecesorul” scade o unitate dintr-o serie, astfel 0 ∸1 = 0). Șirul ” XV n => n ” indică faptul că, dacă mai întâi succesorul este aplicat unui obiect arbitrar N și apoi predecesorul se aplică la XV n, rezultă originalul n.”

este acest set de axiome”adecvat”? Răspunsul corect ar fi o întrebare: „adecvat pentru a descrie ceea ce, în special?”Axiomele determină la care sisteme, definite din afara teoriei, se aplică teoria.”(Kleene 1952: 27). Cu alte cuvinte, axiomele pot fi suficiente pentru un sistem, dar nu pentru altul.

de fapt, este ușor de văzut că acest set de axiome nu este unul foarte bun—de fapt, este inconsistent (adică produce rezultate inconsistente, indiferent de interpretarea sa):

exemplu: definiți ca 0, ca 1 și ca 1 = 0. Din prima axiomă, 0 = 0, deci 0 = 1. Dar ultima axiomă specifică faptul că pentru orice N arbitrar, inclusiv 0, 0, 0, 0, 0, 0, Nu 1, Nu 0, nu 1.

se observă, de asemenea, că setul axiomei nu specifică faptul că nu se specifică faptul că nu se specifică acest lucru. Sau, cu excepția cazului n = ※, ↀn ≠ n. Dacă am fost pentru a include aceste două axiome ne-ar trebui pentru a descrie noțiuni intuitive „este egal cu” simbolizat de = și nu-egal simbolizat prin ≠.