e (numărul lui Euler)
numărul E este unul dintre cele mai importante numere din matematică.
primele cifre sunt:
2.7182818284590452353602874713527 (și altele …)
este adesea numit numărul lui Euler după Leonhard Euler (pronunțat „Oiler”).
e este un număr irațional (nu poate fi scris ca o fracție simplă).
e este baza logaritmilor naturali (inventați de John Napier).
e se găsește în multe domenii interesante, deci merită învățat.
calculând
există multe modalități de calculare a valorii lui e, dar niciuna dintre ele nu dă vreodată un răspuns Total exact, deoarece e este irațional și cifrele sale continuă la nesfârșit fără a se repeta.
dar este cunoscut de peste 1 trilion de cifre de precizie!
de exemplu, valoarea lui (1 + 1/n) N se apropie de e pe măsură ce n devine din ce în ce mai mare:
| n | (1 + 1/n)n |
| 1 | 2.00000 |
| 2 | 2.25000 |
| 5 | 2.48832 |
| 10 | 2.59374 |
| 100 | 2.70481 |
| 1,000 | 2.71692 |
| 10,000 | 2.71815 |
| 100,000 | 2.71827 |
Try it! Put „(1 + 1/100000)^100000” into the calculator:
(1 + 1/100000)100000
What do you get?
un alt calcul
valoarea e este, de asemenea, egală cu 10! + 11! + 12! + 13! + 14! + 15! + 16! + 17! + … (etc)
(notă:”!”înseamnă factorial)
primii termeni se adaugă la: 1 + 1 + 12 + 16 + 124 + 1120 = 2.71666…de fapt, Euler însuși a folosit această metodă pentru a calcula e la 18 zecimale.
puteți încerca singur la calculatorul Sigma.
amintindu
să-și amintească valoarea e (la 10 locuri) amintiți-vă doar această zicală (conta literele!):
- la
- express
- e
- amintiți-vă
- la
- memorați
- o
- propoziție
- la
- memorați
- acest
sau vă puteți aminti modelul curios că după „2.7” apare numărul „1828” de două ori:
2.7 1828 1828
și următoarele sunt cifrele unghiurilor 45, 90, 45, într-un triunghi isoscel în unghi drept (fără motiv real, așa cum este):
2.7 1828 1828 45 90 45
(o modalitate instantanee de a părea cu adevărat inteligent!)
creștere
e este utilizat în funcția exponențială „naturală” :
graficul lui f(x) = ex
are această proprietate minunată: „panta sa este valoarea sa”
în orice moment panta lui ex este egală cu valoarea lui ex :
când x=0, valoarea ex = 1, iar panta = 1
când x=1, valoarea Ex = e, iar panta = e
etc…
Acest lucru este valabil oriunde pentru ex, și face unele lucruri în calcul (în cazul în care avem nevoie pentru a găsi pante) un întreg lot mai ușor.
zona
zona până la orice valoare x este de asemenea egală cu ex :
o proprietate interesantă
doar pentru distracție, încercați „tăiați apoi înmulțiți”
să spunem că tăiem un număr în părți egale și apoi înmulțim acele părți împreună.
exemplu: tăiați 10 în 2 bucăți și înmulțiți-le:
fiecare „piesă” are 10/2 = 5 în dimensiune
5 5 = 25
acum, … cum am putea obține răspunsul pentru a fi cât mai mare posibil, ce dimensiune ar trebui să fie fiecare piesă?
răspunsul: Faceți piesele cât mai aproape de dimensiunea „e”.
exemplu: 10
câștigătorul este numărul cel mai apropiat de „e”, în acest caz 2.5.
încercați-l cu un alt număr, spuneți 100,… ce primești?
100 cifre zecimale
aici este e la 100 cifre zecimale:
2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957
49669676277240766303535475945713821785251664274…
avansat: utilizarea e în Interes compus
adesea numărul e apare în locuri neașteptate. Cum ar fi în finanțe.
Imaginați-vă o bancă minunată care plătește 100% dobândă.
într-un an ai putea transforma $1000 în $2000.
acum imaginați-vă că banca plătește de două ori pe an, adică 50% și 50%
la jumătatea anului în care aveți 1500 USD, reinvestiți pentru restul anului și cei 1500 USD cresc la 2250 USD
aveți mai mulți bani, pentru că ați reinvestit la jumătatea anului.
care se numește interes compus.
am putea obține și mai mult dacă am împărți anul în luni?
putem folosi această formulă:
(1 + r / n)n
r = rata anuală a dobânzii (ca zecimală, deci 1 nu 100%)
n = numărul de perioade din an
exemplul nostru semestrial este:
(1+1/2)2 = 2.25
să încercăm lunar:
(1+1/12)12 = 2.613…
să încercăm de 10.000 de ori pe an:
(1+1/10,000)10,000 = 2.718…
da, se îndreaptă spre e (și este modul în care Jacob Bernoulli a descoperit-o pentru prima dată).
de ce se întâmplă asta?
răspunsul constă în similitudinea dintre:
| formula de compunere: | (1 + r/n)n | |
| și | ||
| e (pe măsură ce n se apropie de infinit): | (1 + 1/n)n |
formula de compunere este foarte asemănătoare cu formula pentru e (ca n se apropie de infinit), doar cu un r suplimentar (rata dobânzii).
când am ales o rată a dobânzii de 100% (= 1 ca zecimală), formulele au devenit aceleași.
citiți compoziția continuă pentru mai multe.
Formula lui Euler pentru numere complexe
e apare și în această ecuație uimitoare:
ein + 1 = 0
citiți mai multe aici
Transcendental
e este, de asemenea, un număr transcendental.
Leave a Reply