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Rational Exponents

by admin

Rational Exponents

Learning Objective(s)

· Convert radicals to expressions with rational exponents.

· Convert expressions with rational exponents to their radical equivalent.

· Use the laws of exponents to simplify expressions with rational exponents.

· Use rational exponents to simplify radical expressions.

Introdução

as raízes Quadradas são mais frequentemente escritos utilizando um radical sinal, como este, . Mas há outra maneira de representar a tomada de uma raiz. Podes usar expoentes racionais em vez de radicais. Um expoente racional é um expoente que é uma fração. Por exemplo, pode ser escrito como .

não consegue imaginar aumentar um número para um expoente racional? Eles podem ser difíceis de se acostumar, mas expoentes racionais podem realmente ajudar a simplificar alguns problemas. Vamos explorar a relação entre expoentes racionais (fraccionais) e radicais.

Reconfiguração Radical Expressões Usando o Rational Expoentes

Radicais e expoentes fracionários são formas alternativas de expressar a mesma coisa. Você já viu como as raízes quadradas podem ser expressas como um expoente ao poder de uma metade.

Radical Form

Exponent Form

Integer

4

5

10

Let’s look at some more examples, but this time with cube roots. Lembre-se, cubrando um número aumenta-o para o poder das três. Observe que nestes exemplos, o denominador do expoente racional é o número 3.

Radical Form

Exponent Form

Integer

2

5

10

These examples help us model a relationship between radicals and expoentes racionais: ou seja, que a n-ésima raiz de um número pode ser escrita como ou .

Radical Form

Exponent Form

…

…

When faced with an expressão que contém um expoente racional, você pode reescrevê-lo usando um radical. Na tabela acima, observe como o denominador do expoente racional determina o índice da raiz. Assim, um expoente da converte para a raiz quadrada, um expoente da converte para o quinto raiz ou e converte para o oitavo raiz ou .

Example

Problem

Write as an expression with a rational exponent.

The radical form can be rewritten as the exponent . Remove the radical and place the exponent next to the base.

Answer

Example

Problem

Express in radical form.

Reescrever a expressão com o expoente fracionário como um radical. O denominador da fração determina a raiz, neste caso a raiz cúbica.

os parênteses em indicam que o expoente se refere a tudo dentro dos parênteses.

Resposta

Lembre-se de que expoentes referem-se somente a quantidade imediatamente à sua esquerda, a menos que um símbolo de agrupamento é utilizado. O exemplo abaixo parece muito semelhante ao exemplo anterior com uma diferença importante—não há parênteses! Olha o que acontece.

Example

Problem

Express in radical form.

Rewrite the expression with the fractional exponent as a radical. O denominador da fração determina a raiz, neste caso a raiz cúbica.

o expoente refere-se apenas à parte da expressão imediatamente à esquerda do expoente, neste caso x, mas não o 2.

Answer

Rewriting Expressions with Rational Exponents Using Radicals

Just as you can rewrite an expression with a rational exponent as a radical expression, you can express a radical expression using a rational exponent.

Example

Problem

Express with rational exponents.

Rewrite the radical using a rational exponent. The root determines the fraction. Neste caso, o índice do radical é 3, então o expoente racional será .

Uma vez que 4 está fora do radical, não está incluído no símbolo de agrupamento e o expoente não se refere a ele.

Answer

Example

Problem

Simplify.

Rewrite the expression with the fractional exponent as a radical.

6 • x2

Find the square root of both the coefficient and the variable.

Resposta

Expoentes Racionais com os Numeradores diferente

Todos os numeradores para as frações de expoentes nos exemplos acima foram de 1. Você pode usar expoentes fraccionais que têm numeradores diferentes de 1 para expressar raízes, como mostrado abaixo. Nota algum padrão dentro desta mesa?

Radical

Exponent

…

…

Para reescrever um radical usando um expoente fracionário, o poder para que o radicand é gerado torna-se o numerador e o de raiz torna-se o denominador.

a Escrita Fracionária Expoentes

Qualquer radical na forma pode ser escrito usando um expoente fracionário na forma .

The relationship between and works for rational exponents that have a numerator of 1 as well. Por exemplo, o radical também pode ser escrito como , já que o número permanece o mesmo valor, se ele é elevado à primeira potência. Você pode agora ver de onde o numerador de 1 vem na forma equivalente de .

Simplificação Radical Expressões Usando o Rational Expoentes e as Leis dos Expoentes

Vamos explorar algumas radical expressões de agora e ver como simplificá-los. Aqui está uma expressão radical que precisa ser simplificada, .

um método de simplificar esta expressão é o factor e retirar grupos de a3, como mostrado abaixo neste exemplo.

Example

Problem

Simplify.

Rewrite by factoring out cubes.

Write each factor under its own radical and simplify.

Resposta

Você também pode simplificar esta expressão de pensamento sobre o radical como uma expressão com um expoente racional, e utilizando o princípio de que qualquer radical na forma pode ser escrito usando um expoente fracionário na forma .

Example

Problem

Simplify.

Rewrite the radical using a rational exponent.

Simplify the exponent.

Answer

Note that rational exponents are subject to all of the same rules as other exponents when they appear in algebraic expressions.

ambos os métodos de simplificação deram o mesmo resultado, a2. Dependendo do contexto do problema, pode ser mais fácil usar um método ou outro, mas por agora, você vai notar que você foi capaz de simplificar esta expressão mais rapidamente usando expoentes racionais do que ao usar o método “pull-out”.vamos tentar outro exemplo.

Example

Problem

Simplify.

Rewrite the radical using rational exponents.

Use the rules of exponents to simplify the expression.

Change the expression with the expoente racional de volta à forma radical.

Resposta

Novamente, o método alternativo é o trabalho sobre a simplificação sob o radical usando factoring. Para o exemplo que acabaste de resolver, parece-se com isto.

Example

Problem

Simplify.

Rewrite the expression.

Factor each radicand.

Simplify.

Answer

Which of the expressions below is equal to the expression when written using a rational exponent?

A)

B)

C)

D)

Mostrar/Ocultar a Resposta

Vamos tentar a expressão mais complicada, . Esta expressão tem duas variáveis, uma fração e um radical. Vamos fazê-lo passo a passo e ver se o uso de expoentes fracionais pode nos ajudar a simplificá-lo.

vamos começar por simplificar o denominador, já que é aqui que o sinal radical está localizado.

Example

Problem

Simplify.

Separate the factors in the denominator.

Take the cube root of 8, which is 2.

Rewrite the radical using a fractional exponent.

Rewrite the fraction as a series of factors in order to cancel factors (see next step).

Simplify the constant and c factors.

Use the rule of negative exponents,

n-x=, to rewrite as .

Combine the b factors by adding the exponents.

Change the expression with the fractional exponent back to radical form. Por convenção, uma expressão não é geralmente considerada simplificada se tiver um expoente fraccional ou um radical no denominador.

Resposta

Bem, o que demorou um pouco, mas você fez isso. Você aplicou o que sabe sobre expoentes fracionais, expoentes negativos, e as regras dos expoentes para simplificar a expressão.

Resumo

Um radical pode ser expressa como uma expressão com um expoente fracionário seguindo a convenção . Reescrever radicais usando expoentes fracionais pode ser útil na simplificação de algumas expressões radicais. Ao trabalhar com expoentes fracionais, lembre-se que expoentes fracionais estão sujeitos a todas as mesmas regras que outros expoentes quando aparecem em expressões algébricas.