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Probit

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a distribuição normal CDF e o seu inverso não estão disponíveis Em Forma fechada, e o cálculo requer um uso cuidadoso dos procedimentos numéricos. No entanto, as funções estão amplamente disponíveis em software para estatística e modelagem de probabilidade, e em planilhas. No Microsoft Excel, por exemplo, a função probit está disponível como norma.S. inv (p). Em ambientes de computação onde numérica implementações da inversa da função de erro estão disponíveis, a função probit pode ser obtido como:

probit ⁡ ( p ) = 2 erf − 1 ⁡ ( 2 p − 1 ) . {\displaystyle \operatorname {probit} (p)={\sqrt {2}}}\,\operatorname {erf} ^{-1} (2p-1).}

\operatorname {probit}(p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf}^{{-1}}(2p-1).

um exemplo é MATLAB, onde uma função erfinv está disponível. A linguagem Mathematica implementa ‘InverseErf’. Outros ambientes implementam diretamente a função probit como é mostrado na sessão seguinte na linguagem de programação R.

> qnorm(0.025) -1.959964> pnorm(-1.96) 0.02499790

detalhes para calcular a função de erro inverso podem ser encontrados em . Wichura dá um algoritmo rápido para computar a função probit com 16 casas decimais; este é usado em R para gerar variações aleatórias para a distribuição normal.

uma equação diferencial ordinária para a probit functionEdit

outra forma de computação é baseada na formação de uma equação diferencial ordinária não-linear (ODE) para probit, de acordo com o método Steinbrecher e Shaw. Abreviar o probit função w ( p ) {\displaystyle w(p)}

w(p)

, a ODE é d w d p = 1 f ( w ) {\displaystyle {\frac {dw}{dp}}={\frac {1}{f(w)}}}

{\frac {dw}{dp}}={\frac {1}{f(w)}}

onde f ( w ) {\displaystyle f(w)}

f(w)

é a função de densidade de probabilidade de w.

No caso de a Gaussiana:

d d p = 2 π e w 2 2 {\displaystyle {\frac {dw}{dp}}={\sqrt {2\pi }}\ e^{\frac {w^{2}}{2}}}

{\frac {dw}{dp}}={\sqrt {2\pi }}\ e^{{{\frac {w^{2}}{2}}}}

Diferenciando novamente:

d 2 w d p 2 = w d w d p ) 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dp^{2}}}=w\left({\frac {dw}{dp}}\right)^{2}}

{\frac {d^{2}w}{dp^{2}}}w =\left({\frac {dw}{dp}}\right)^{2}

com o centro (inicial) condições

w ( 1 / 2 ) = 0 , {\displaystyle w\left(1/2\right)=0,}

w\left(1/2\right)=0,

w ‘ ( 1 / 2 ) = 2 π . {\displaystyle w ‘ \left (1/2\right)={\sqrt {2\pi }}.}

w ' \left (1/2\right)={\sqrt {2\pi }}.'\left(1/2\right)={\sqrt {2\pi }}.

esta equação pode ser resolvida por vários métodos, incluindo a abordagem da série clássica de potências. A partir disso, soluções de alta precisão arbitrariamente podem ser desenvolvidas com base na abordagem de Steinbrecher à série para a função de erro inverso. A série de poder da solução é dada por

w ( p ) = π 2 ∑ k = 0 ∞ d k ( k 2 + 1 ) ( 2 p − 1 ) ( 2 k + 1 ) {\displaystyle w(p)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}}{(2k+1)}}(2p-1)^{(2k+1)}}

w(p)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\sum _{{k=0}}^{{\infty }}{\frac {d_{k}}{(2k+1)}}(2p-1)^{{(2k+1)}}