Livro 1 dos Elementos começa com inúmeras definições seguido pelo famoso cinco postulados. Então, antes de Euclid começar a provar teoremas, ele dá uma lista de noções comuns. O primeiro, algumas definições são:

Os postulados são aquelas de construção, tais como:

pode-se desenhar uma linha reta de qualquer ponto a qualquer ponto.

as noções comuns são axiomas tais como:

coisas iguais à mesma coisa também são iguais uma à outra.

devemos notar certas coisas.

1. Euclid parece definir um ponto duas vezes (Definições 1 e 3) e uma linha duas vezes (definições 2 e 4). Isto é muito estranho.
2. Euclid nunca faz uso das definições e nunca se refere a elas no resto do texto.alguns conceitos nunca são definidos. Por exemplo, não há nenhuma noção de ordenar os pontos em uma linha, de modo que a idéia de que um ponto está entre dois outros nunca é definida, mas é claro que é usado.como vimos nos números reais: Pitágoras para Stevin, O Livro V dos elementos considera as magnitudes e a teoria da proporção de magnitudes. No entanto, Euclides deixa o conceito de magnitude indefinido e isso parece aos leitores modernos como se Euclides não tivesse conseguido estabelecer magnitudes com o rigor pelo qual ele é famoso.
3. Quando Euclid introduz magnitudes e números ele dá algumas definições, mas não postulados ou noções comuns. Por exemplo, pode-se esperar Euclides postular a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c)a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c), etc. mas ele não.
4. Quando Euclides apresenta números no Livro VII, ele faz uma definição bastante semelhante para os básicos no início do Livro I:
   Uma unidade é que, em virtude da qual cada uma das coisas que existem são chamados.

Alguns historiadores têm sugerido que a diferença entre a forma que as definições básicas ocorrer no início do Livro I e Livro V, não é porque Euclides foi menos rigoroso no Livro V, em vez disso, eles sugerem que Euclides sempre deixou sua conceitos básicos indefinido e as definições no início do Livro I são adições posteriores. Quais são as provas disso?o primeiro comentário seria que isso explicaria por que Euclid nunca se refere às definições básicas. Se não estavam no texto que Euclid escreveu, então é claro que ele não poderia se referir a eles. O ponto seguinte a notar é que eles são muito semelhantes ao trabalho que é atribuído a Heron chamado definições de termos em Geometria. Isto contém 133 definições de termos geométricos começando com pontos, linhas, etc. que são muito próximas das dadas por Euclid. In Knorr argues convincingly that this work is in fact due to Diophantus. A questão aqui é a seguinte. As definições de termos em Geometria são baseadas em elementos de Euclides ou as definições básicas deste trabalho foram inseridas em versões posteriores dos elementos?

temos que considerar o que Sextus Empiricus diz sobre definições. A primeira nota que Sextus escreveu cerca de 200 dC e acreditava-se até recentemente que Heron viveu mais tarde do que isso. Se este fosse o caso, então é claro Sextus não poderia ter se referido a qualquer coisa escrita por Heron. No entanto, mais recentemente Heron foi datado do primeiro século e isso nos diz que Sextus escreveu depois Heron. A outra parte do quebra-cabeça que temos que considerar aqui é a versão mais antiga dos elementos de Euclid a ser encontrada. Quando o Vesúvio entrou em erupção em 79 d. C., Herculano juntamente com Pompeia e Estábia, foi destruído. Herculano foi enterrado por uma massa compacta de material com cerca de 16 m de profundidade, que preservou a cidade até as escavações começarem no século XVIII. Condições especiais de umidade da madeira conservada do solo, tecido, alimentos, e em particular papiros que nos dão informações importantes. Um papiro encontrado lá contém fragmentos dos elementos e foi claramente escrito antes de 79 d. C. Desde que Filodemos, um estudante de Zenão de Sídon, tomou sua biblioteca de papiros lá algum tempo logo após 75 A. C. a versão dos elementos é provável que seja de cerca dessa data.voltemos a Sextus, que escreve sobre ” matemáticos descrevendo entidades geométricas “e é interessante que a palavra” descrevendo ” não é usada nos elementos, mas é usada por Heron em Definições de termos em Geometria. Mais uma vez, as descrições que ele dá estão mais perto das palavras exatas que aparecem em Heron do que as de Euclides. Quando sexto dá “a definição de um círculo” ele usa a palavra “definição” que é a de Euclides. Sextus cita a definição precisa de um círculo que aparece no fragmento de Herculano. Isto não inclui uma definição de “circunferência”, embora Euclides use a noção de circunferência de um círculo. As versões posteriores dos elementos que chegaram até nós incluem uma definição de “circunferência” dentro da definição de um círculo.
nenhuma das evidências acima prova se as definições básicas de objetos geométricos foram adicionadas aos elementos mais tarde. Eles mostram de forma bastante convincente que a definição de um círculo foi estendida para incluir a definição de circunferência em edições posteriores do livro. A hipótese é que Sextus tem os elementos e definições de termos em Geometria na frente dele quando ele está escrevendo e ele usa a palavra “descrever” quando ele se refere a Heron e “definir” quando ele se refere a Euclides. Mesmo que isso seja correto, ele ainda não prova que a versão dos elementos sentados na frente de Sextus não contém definições básicas de objetos geométricos, mas faz com que essa possibilidade pelo menos valha a pena debater. O que achas?um último ponto para pensar. Nós citamos acima:

Def. 1.4. Uma linha reta está igualmente no que diz respeito aos pontos em si.

O que isso significa? Parece uma descrição estranha para Euclid dar, pois parece não ter sentido. Compará-lo com a definição de uma linha reta em Definições de termos em geometria:

Uma linha reta é uma linha que, igualmente, com respeito a todos os pontos em si fica em linha reta e no máximo tenso entre as suas extremidades.

mais uma vez perguntamos ao leitor: você acha que a definição que aparece nos elementos é uma corrupção da definição de Heron e assim foi adicionada mais tarde, ou você acha que Euclid deu uma definição bastante pobre que foi melhorada por Heron? Por que não usar a definição de uma linha reta como a distância mais curta entre dois pontos?