Exemplo: o Que é 2 ∫ 1 2x dx

Estamos sendo solicitados para a Integral Definida, de 1 para 2, 2x dx

Primeiro, precisamos encontrar a Integral Indefinida.

Usando as Regras de Integração descobrimos que ∫2x dx = x2 + C

Agora calcular que, no 1 e 2:

• x=1: ∫2x dx = 12 + C
• Em x=2: ∫2x dx = 22 + C

Subtrair:

E “C” fica cancelada … assim, com o Definitivo Integrais podemos ignorar C.

Resultado:

Verifique: com uma forma simples, vamos também tentar calcular a área de geometria:

Um = 2+42 × 1 = 3

Sim, ele tem uma área de 3.(Yay!)

Exemplo (continuação)

Uma boa maneira de mostrar a sua resposta:

Example:

The Definite Integral, from 0.5 to 1.0, of cos(x) dx:

(Note: x must be in radians)

The Indefinite Integral is: ∫cos(x) dx = sin(x) + C

We can ignore C for definite integrals (as we saw above) and we get:

Example:

The Definite Integral, from 0 to 1, of sin(x) dx:

A Integral Indefinida é: ∫sin(x) dx = −cos(x) + C

uma vez que estamos indo de 0, podemos calcular a integral em x=1?

−cos(1) = – 0, 540…o quê? É negativo? Mas parece positivo no gráfico.bem … cometemos um erro!

porque precisamos subtrair a integral em x = 0. Não devemos assumir que é zero.então vamos fazer isso corretamente, subtraindo um do outro:

1

∫

0

sin(x) dx

=

1

0

= −cos(1) − (−cos(0))

= -0.540… − (- 1)

= 0, 460… isso é melhor!

Mas podemos ter negativos regiões, quando a curva estiver abaixo do eixo:

Exemplo:

A Integral Definida, de 1 a 3, de cos(x) dx:

3

∫

1

cos(x) dx

Observe que algumas delas são positivas, outras negativas.
a integral definitiva irá resolver o valor líquido. vamos fazer os cálculos.:

3

∫

1

cos(x) dx

=

3

1

= sin(3) − sin(1)

= 0.141… − 0.841…

= – 0, 700…

Salto há mais negativo do que positivo com o resultado líquido de -0,700….então temos uma coisa importante para recordar:

b

∫

um

f(x) dx = (Área acima do eixo x) − (Área abaixo do eixo x)

Tente integrar cos(x) com diferentes valores de início e término para ver por si mesmo como pontos positivos e negativos do trabalho.

área positiva

mas por vezes queremos que toda a área seja tratada como positiva (sem subtrair a parte abaixo do eixo).

nesse caso, devemos calcular as áreas separadamente, como no exemplo:

Exemplo: Qual é a área total entre y = cos (x) e o eixo x, de x = 1 A x = 3?

isto é como o exemplo que acabamos de dar, mas agora esperamos que toda a área seja positiva (imagine que tivemos que pintá-la).

Então, agora temos que fazer as peças separadamente:

• Um para a área acima do eixo-x
• Um para a área abaixo do eixo-x

A curva cruza o eixo x em x = π/2 assim, temos:

a Partir de 1 de π/2:

π/2

∫

1

cos(x) dx

= sin(π/2) − sin(1)

= 1 − 0.841…

= 0.159…

a Partir de π/2 para 3:

3

∫

π/2

cos(x) dx

= sin(3) − sin(π/2)

= 0.141… – 1

= – 0, 859…

o último sai negativo, mas queremos que ela seja positiva, assim:

área Total = 0.159… + 0.859… = 1.018…

isto é muito diferente da resposta no exemplo anterior.

contínuo

Oh sim, a função que estamos integrando deve ser contínua entre a e b: sem Buracos, Saltos ou assintotas verticais (onde a função vai para cima/para baixo em direcção ao infinito).

Exemplo:

Uma assíntota vertical entre a e b afeta a integral definida.

Propriedades

Área acima da área abaixo

A integral adiciona a área acima do eixo, mas subtrai a área abaixo, para um “valor líquido”:

b

∫

um

f(x) dx = (Área acima do eixo x) − (Área abaixo do eixo x)

Adicionar Funções

A integral de f+g é igual a integral de f plus a integral de g:

b

∫

um

f(x) + g(x) dx =

b

∫

um

f(x) dx +

b

∫

um

g(x) dx

Inverter o intervalo

a Inversão da direcção do intervalo dá o negativo da direção original.