Eigenvector e Autovalue
eles têm muitos usos!
Um exemplo simples é a de que um eigenvector não mudar de direção em uma transformação:
A Matemática De
Para uma matriz quadrada a, Um Eigenvector e Eigenvalue tornar a equação verdadeira:
Vamos ver como encontrá-los (se eles podem ser encontrados) em breve, mas primeiro vamos ver um em acção:
Exemplo: Para esta matriz -6 3 4 5 eigenvector é: 1 4 com o equivalente valor eigenval de 6
vamos fazer alguns multiplies matrix para ver o que obtemos.
Av nos dá:
λv nos dá :
Sim, eles são iguais! Então Av = λv como prometido.
Notice how we multiply a matrix by a vector and get the same result as when we multiply a scalar (just a number) by that vector.como encontramos estas coisas eigen?
começamos por encontrar o eigenvalue: sabemos que esta equação deve ser verdadeira:
Av = λv
Agora, vamos colocar em uma matriz de identidade, de modo que estamos a lidar com matriz-vs-matriz:
Av = λIv
Trazer todos para o lado esquerdo:
Av − λIv = 0
Se v for diferente de zero, então podemos resolver para λ usando apenas o determinante:
| A − λI | = 0
Vamos tentar essa equação no nosso exemplo anterior:
Exemplo: Resolver para λ:
Comece com | A − λI | = 0
|
|
|
-6
3
4
5
− λ
1
0
0
1
|
|
|
= 0 |
o Que é:
= 0
o Cálculo que o determinante fica:
(−6−λ)(5−λ) − 3×4 = 0
Que, em seguida, leva-nos esta Equação Quadrática:
λ2 + λ − 42 = 0
E a solução não receber o:
λ = -7 ou 6
E sim, são possíveis dois autovalores.
Agora que conhecemos os autovalores, vamos encontrar os seus autovectores correspondentes.
exemplo (continuação): encontrar o vetor próprio para o vetor próprio λ = 6:
iniciar com:
Av = λv
Coloque os valores sabemos:
Depois de multiplicação temos estas duas equações:
| −6x + 3y | = | 6x |
| 4x + 5y | = | 6y |
Bringing all to left hand side:
| −12x + 3y | = | 0 |
| 4x − 1y | = | 0 |
Either equation reveals that y = 4x, so the eigenvector is any non-zero multiple of this:
And we get the solution shown at the top of the page:
… e …
Para que Av = λv
Agora, é a vez de encontrar o eigenvector para o outro eigenvalue de -7
Por quê?
Qual é o propósito destes?
uma das coisas legais é que podemos usar matrizes para fazer transformações no espaço, que é usado muito em computação gráfica.
nesse caso, o autovetor é” a direção que não muda de direção”!
E o eigenvalue é a escala do trecho:
- 1 significa nenhuma mudança,
- 2 significa o dobro em comprimento,
- -1 significa apontando para trás ao longo do eigenvalue da direção
Há também muitas aplicações na física, etc.
Por “Eigen”
Eigen é uma palavra alemã que significa “próprio” ou “típico”
“das ist ihnen eigen” isGerman para “que lhes é típica”
às Vezes em inglês, usamos a palavra “característica”, portanto, uma eigenvector pode ser chamado de uma “característica do vetor”.
não apenas duas dimensões
Eigenvectores funcionam perfeitamente em 3 e mais dimensões.
exemplo: encontrar os autovalores para esta matriz 3×3: 2 0 0 0 4 5 0 4 3
calcular primeiro a-λI:
Agora, o determinante deve ser igual a zero:
de:
(2−λ) = 0
Isso acaba sendo uma equação cúbica, mas só de olhar aqui vemos uma das raízes é 2 (devido a 2−λ), e a parte de dentro de colchetes é Quadrática, com raízes -1 e 8.
assim os autovalores São -1, 2 e 8
exemplo (continuação): encontrar o Eigenvector que corresponde a Eigenvalue -1
Coloque os valores sabemos:
Depois da multiplicação temos estas equações:
| 2x | = | −x |
| 4y + 5z | = | −y |
| 4y + 3z | = | −z |
Bringing all to left hand side:
| 3x | = | 0 |
| 5y + 5z | = | 0 |
| 4y + 4z | = | 0 |
So x = 0, and y = −z and so the eigenvector is any non-zero multiple of this:
TEST Av:
E λv:
Salto Av = λv, yay!
(Você pode tentar sua mão em os autovalores do 2 e 8)
Girar
de Volta ao mundo 2D novamente, esta matriz vai fazer a rotação θ:
Exemplo: Rodar até 30°
cos(30°) = √32 e o pecado(30°) = 12, então:
Mas, se começamos a rodar todos os pontos, o que é a “direção que não mudar de direção”?
Vamos trabalhar através da matemática para saber:
Primeiro calcular A − λI:
Agora, o determinante deve ser igual a zero:
o Que é:
(√32−λ)(√32−λ) − (-12)(12) = 0
o Que torna esta Equação Quadrática:
λ2 − (√3)λ + 1 = 0
Cujas raízes são:
λ = √32 ± i2
Os autovalores forem complexos!
I don’t know how to show you that on a graph, but we still get a solution.
Eigenvector
So, what is a eigenvector that matches, say, the √32 + i2 root?
comece por:
Av = λv
coloque os valores que conhecemos:
Depois de multiplicação temos estas duas equações:
√32x − 12y = √32x + i2x
12x + √32y = √32y + i2y
Que simplificar para:
−y = ix
x = iy
, E a solução é qualquer diferente de zero byte de:
ou
Uau, como uma resposta simples! isto é só porque escolhemos 30°? Ou funciona para qualquer matriz de rotação? Vou deixar-te resolver isso! Tente outro ângulo, ou melhor ainda usar “cos(θ)” e “sin(θ)”.
Oh, e deixe-nos verificar pelo menos uma dessas soluções:
o Faz coincidir com isso?
Ah, sim, é verdade!
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