teraz wyposażony w zasady teorii logiki, a także podstawową notację, nadszedł czas na zgłębienie pojęcia równoważności w logice. W szczególności, co sprawia, że dwa złożone przesłanki są sobie równe?

dwa przesłanki złożone x& y są logicznie równoważne, jeśli dla każdego przypisania wartości prawdy do pierwotnych przesłanek, które składają się na X& Y, wyrażenia X& y mają identyczne wartości prawdy.

to trudna definicja do przełknięcia, ale to zastosowanie tej definicji zależy nam na nauce. Aby to osiągnąć, będziemy przechodzić przez wiele, coraz bardziej skomplikowanych przykładów. Najpierw jednak przejdźmy się, aby dowiedzieć się nieco więcej o naszym Excalibur dla tej podróży — jednym z najprostszych, ale potężnych narzędzi dla logików do udowodnienia równoważności logicznej: tabele prawdy.

tablica prawdy jest wizualnym narzędziem, w postaci diagramu z wierszami& kolumn, który pokazuje prawdę lub FAŁSZ złożonego założenia. Jest to sposób organizowania informacji, aby wymienić wszystkie możliwe scenariusze z dostarczonych lokali. Zacznijmy od prostego przykładu, tabele prawdy, przedstawiający manipulację jednym warunkiem: negacja (~) prymitywne warunki (P)

Tabele prawdy zawsze są odczytywane od lewej do prawej, z prymitywną przesłanką w pierwszej kolumnie. W powyższym przykładzie nasza pierwotna przesłanka (p) znajduje się w pierwszej kolumnie, podczas gdy wynikowa przesłanka (~p), post-negacja, tworzy kolumnę drugą.

łatwo tu wszystko przemyśleć — nie zapominaj, że przesłanka jest po prostu stwierdzeniem, które jest albo prawdziwe, albo fałszywe. Ponieważ ten przykład ma tylko jedną przesłankę, musimy śledzić tylko dwa wyniki; w wyniku czego w dwóch wierszach, gdy P jest prawdziwe lub gdy jest fałszywe. Wiersz pierwszy opisuje, czytając od lewej do prawej, że jeśli P jest prawdziwe, to negacja P jest fałszywa; wiersz drugi wyświetla, że jeśli p jest już fałszywe, to negacja P jest prawdziwa.

przejdźmy do bardziej skomplikowanego przykładu tabel prawdy w wild, wstawiając łącznik, który wcześniej widzieliśmy: implikacja (- >). Aby uczynić to nieco bardziej strawnym, przypiszmy nasze stwierdzenia P & Q jakiś kontekst przed zbudowaniem naszej tabeli prawdy:

p: Thanos pstryknął palcami

Q: 50% wszystkich żywych istot zniknęło

zanim zajrzymy poniżej, zastanówmy się nad tą strukturą, biorąc pod uwagę szczegóły powyżej. Po pierwsze, ponieważ mamy dwie prymitywne przesłanki (P, Q), wiemy, że będziemy potrzebować co najmniej dwóch kolumn; dodatkowo, powinniśmy przygotować się do wynikowej przesłanki z implikacją connective (P – > Q), która będzie wymagała innej kolumny. W sumie trzy kolumny.

a co z rzędami? Ponieważ mamy dwie przesłanki, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa, aby uwzględnić wszystkie możliwe scenariusze, wymagamy łącznie czterech wierszy (P. s-z tej obserwacji można wywnioskować zgrabną konsekwencję: tablica prawdy, która odpowiada N przesłankom, wymaga N2 wierszy). Narysujmy teraz tę tabelę & upewnij się, że jest zrozumiała:

przejrzyj tabelę prawdy powyżej wiersz po wierszu. Pierwszy rząd potwierdza, że oba Thanos złamał palce (P) & 50% wszystkich żywych istot zniknęło (Q). Ponieważ obie przesłanki posiadają wartość true, wtedy przesłanka wynikowa (implikacja lub warunkowa) również jest prawdziwa:

wiersz drugi jest równie bezpośredni w zrozumieniu. Tym razem P jest nadal prawdziwe, jednak Q jest teraz fałszywe. Interpretacja tutaj brzmi: „Thanos pstryknął palcami, ale 50% wszystkich żywych istot nie zniknęło.”Ponieważ zamierzamy udowodnić poprawność implikacji, ma sens, że poprzednie stwierdzenie czyni ogólną przesłankę jednoznacznie fałszywą:

https://www.setzeus.com/

dlaczego jest tak, że fałszywy poprzednik zawsze prowadzi do prawdziwej implikacji? Ponieważ we wszechświecie naszego logicznego twierdzenia, ponieważ poprzednik się nie wydarzył, niemożliwe jest wyeliminowanie wszystkich możliwych scenariuszy, które mogły spowodować Q. na przykład wiersz 3 mówi, że „Thanos nie pstryknął palcami, ale 50% wszystkich żywych istot zniknęło”. Cóż, z tego co wiemy meteoryt, klęska żywiołowa, inwazja kosmitów lub mnóstwo innych działań mogło spowodować to wymarcie-w każdym z tych scenariuszy, niezależnie od tego, które z nich, implikacja pozostaje prawdziwa, ponieważ wciąż nie możemy udowodnić, co się dzieje, gdy pstryknie palcami.

na udowodnienie równoważności

tabele prawdy są sprytne, poręczne diagramy śledzenia logiki, które pojawiają się nie tylko w matematyce, ale także w informatyce, elektrotechnice& filozofii, jak również. Notacja może się różnić w zależności od branży, w której jesteś zaangażowany, ale podstawowe pojęcia są takie same. Są wszechstronnym, interdyscyplinarnym narzędziem – ale tylko zarysowaliśmy powierzchnię ich użyteczności.

teraz wyposażony w tablice prawdy, nadszedł czas, aby rozwijać się w kierunku udowodnienia równoważności między wieloma złożonymi przesłankami. W następnym artykule z tej serii wykorzystamy naszą wiedzę złożeniową, aby udowodnić, że dwa różne przesłanki złożone, takie jak implikacja & contra-dodatnie, są równe.

https://www.setzeus.com/