Rational Exponents

Learning Objective(s)

· Convert radicals to expressions with rational exponents.

· Convert expressions with rational exponents to their radical equivalent.

· Use the laws of exponents to simplify expressions with rational exponents.

· Use rational exponents to simplify radical expressions.

pierwiastki kwadratowe są najczęściej zapisywane przy użyciu znaku radykalnego, takiego jak ten, . Ale jest inny sposób reprezentowania zakorzenienia. Można użyć wykładników racjonalnych zamiast rodnika. Wykładnik racjonalny to wykładnik będący ułamkiem. Na przykład można zapisać jako .

nie wyobrażasz sobie podniesienia liczby do wykładnika racjonalnego? Być może trudno się do nich przyzwyczaić, ale racjonalne wykładniki mogą pomóc w uproszczeniu niektórych problemów. Zbadajmy związek między wykładnikami racjonalnymi (ułamkowymi) a rodnikami.

rodniki i wykładniki ułamkowe są alternatywnymi sposobami wyrażania tego samego. Widzieliście już, jak pierwiastki kwadratowe mogą być wyrażone jako wykładnik potęgi jednej połowy.

Let’s look at some more examples, but this time with cube roots. Pamiętaj, że podstawianie liczby podnosi ją do potęgi trzech. Zauważ, że w tych przykładach, mianownikiem wykładnika racjonalnego jest Liczba 3.

These examples help us model a relationship between radicals and wykładniki racjonalne: mianowicie, że n-ty pierwiastek liczby można zapisać jako lub .

When faced with an wyrażenie zawierające wykładnik wymierny, można przepisać za pomocą rodnika. W powyższej tabeli zwróć uwagę, jak mianownik wykładnika racjonalnego określa indeks pierwiastka. Tak więc wykładnik przekłada się na pierwiastek kwadratowy, wykładnik przekłada się na piąty pierwiastek lub , a przekłada się na ósmy pierwiastek lub .

pamiętaj, że wykładniki odnoszą się tylko do ilości bezpośrednio po ich lewej stronie, chyba że użyto symbolu grupowania. Poniższy przykład wygląda bardzo podobnie do poprzedniego z jedną ważną różnicą—nie ma nawiasów! Zobacz, co się dzieje.

Just as you can rewrite an expression with a rational exponent as a radical expression, you can express a radical expression using a rational exponent.

wszystkie liczniki dla wykładników ułamkowych w powyższych przykładach były 1. Możesz użyć wykładników ułamkowych, które mają liczniki inne niż 1, aby wyrazić pierwiastki, jak pokazano poniżej. Zauważyłeś jakieś wzory w tej tabeli?

aby przepisać rodnik za pomocą wykładnika ułamkowego, moc, do której jest podniesiony rodnik, staje się licznikiem, a pierwiastek staje się mianownikiem.

zapisanie wykładników ułamkowych

dowolny pierwiastek w postaci można zapisać za pomocą wykładnika ułamkowego w postaci.

zależność międzyI działa również dla wykładników racjonalnych, które mają licznik 1. Na przykład radykalny może być również zapisany jako , ponieważ każda liczba pozostaje tą samą wartością, jeśli zostanie podniesiona do pierwszej potęgi. Możesz teraz zobaczyć, skąd pochodzi licznik 1 w równoważnej formie .

przyjrzyjmy się teraz kilku wyrażeniom radykalnym i zobaczmy, jak je uprościć. Oto radykalne wyrażenie, które wymaga uproszczenia, .

jedną z metod upraszczania tego wyrażenia jest dzielenie i wyciąganie grup a3, jak pokazano poniżej w tym przykładzie.

można również uprościć to wyrażenie, myśląc o rodniku jako wyrażeniu o wykładniku racjonalnym i stosując zasadę, że każdy Rodnik w postaci można zapisać używając wykładnika ułamkowego w postaci .

Note that rational exponents are subject to all of the same rules as other exponents when they appear in algebraic expressions.

obie metody upraszczania dały ten sam wynik, a2. W zależności od kontekstu problemu, może być łatwiej użyć jednej lub drugiej metody, ale na razie zauważysz, że udało ci się uprościć to wyrażenie szybciej przy użyciu wykładników racjonalnych niż przy użyciu metody „pull-out”.

spróbujmy innego przykładu.

ponownie alternatywną metodą jest praca nad upraszczaniem pod pierwiastkiem za pomocą faktoringu. Na przykład, który właśnie rozwiązałeś, wygląda to tak.

Which of the expressions below is equal to the expression when written using a rational exponent?

a)

B)

C)

D)

spróbujmy bardziej skomplikowanego wyrażenia, . Wyrażenie to ma dwie zmienne, ułamek i pierwiastek. Zróbmy to krok po kroku i zobaczmy, czy użycie wykładników ułamkowych pomoże nam to uprościć.

zacznijmy od uproszczenia mianownika, ponieważ tutaj znajduje się znak rodnika.

cóż, trochę to trwało, ale się udało. Zastosowałeś to, co wiesz o wykładnikach ułamkowych, ujemnych wykładnikach i regułach wykładników, aby uprościć wyrażenie.

radykał może być wyrażony jako wyrażenie z wykładnikiem ułamkowym zgodnie z konwencją . Przepisywanie rodników za pomocą wykładników ułamkowych może być przydatne w upraszczaniu niektórych wyrażeń rodnikowych. Podczas pracy z wykładnikami ułamkowymi należy pamiętać, że wykładniki ułamkowe podlegają wszystkim tym samym zasadom, co inne wykładniki, gdy pojawiają się w wyrażeniach algebraicznych.