Książka 1 elementów rozpoczyna się od licznych definicji, po których następuje słynne pięć postulatów. Następnie, zanim Euklid zacznie dowodzić twierdzeń, podaje listę wspólnych pojęć. Kilka pierwszych definicji to:

postulaty są konstrukcjami takimi jak:

można narysować linię prostą z dowolnego punktu do dowolnego punktu.

powszechnymi pojęciami są aksjomaty takie jak:

rzeczy równe tej samej rzeczy są również równe sobie.

powinniśmy pamiętać o pewnych rzeczach.

1. Euclid zdaje się definiować punkt dwa razy (definicje 1 i 3) i linię dwa razy (definicje 2 i 4). To dość dziwne.
2. Euclid nigdy nie korzysta z definicji i nigdy nie odwołuje się do nich w dalszej części tekstu.
3. niektóre pojęcia nigdy nie są definiowane. Na przykład nie ma pojęcia uporządkowania punktów na linii, więc idea, że jeden punkt znajduje się między dwoma innymi, nigdy nie jest zdefiniowana, ale oczywiście jest używana.
4. jak zauważyliśmy w liczbach rzeczywistych: Pitagoras do Stevina, Księga V pierwiastków rozważa wielkości i teorię proporcji wielkości. Jednak Euklid pozostawia pojęcie wielkości nieokreślone i wydaje się to współczesnym czytelnikom, jakby Euklid nie ustanowił wielkości z rygorem, z którego jest znany.
5. kiedy Euklidesowy wprowadza wielkości i liczby, podaje pewne definicje, ale nie ma postulatów ani wspólnych pojęć. Na przykład można oczekiwać, że Euclid postuluje a + b=b+A,(A+b)+c = A+(b+c)a + b = b + A, (A + b) + c=A + (b + c)a+b=b+A,(A+b)+c = A+(b+c) itd. ale nie ma.
6. kiedy Euklidesowy wprowadza liczby w Księdze VII, tworzy definicję raczej podobną do podstawowych na początku Księgi I:
   jednostką jest to, że na mocy której każda z rzeczy, które istnieją, nazywa się jedną.

niektórzy historycy sugerują, że różnica między sposobem, w jaki podstawowe definicje występują na początku Księgi I I Księgi V, nie wynika z tego, że Euklides był mniej rygorystyczny w Księdze V, raczej sugerują, że Euklides zawsze pozostawiał swoje podstawowe pojęcia niezdefiniowane, a definicje na początku Księgi I są późniejszymi dodatkami. Jakie są na to dowody?
pierwszy komentarz byłby taki, że wyjaśniałoby to, dlaczego Euclid nigdy nie odwołuje się do podstawowych definicji. Gdyby ich nie było w tekście, który napisał Euklid, to oczywiście nie mógłby się do nich odnieść. Kolejnym punktem na uwagę jest to, że są one bardzo podobne do pracy przypisywanej Heronowi, zwanej definicjami pojęć w geometrii. Zawiera 133 definicje terminów geometrycznych zaczynających się od punktów, linii itp. które są bardzo zbliżone do tych podanych przez Euklidesa. Knorr przekonująco twierdzi, że dzieło to w rzeczywistości zawdzięcza Diophantus. Chodzi o to, co następuje. Czy Definicje pojęć w geometrii opierają się na Elementach Euklidesa, czy też podstawowe definicje z tej pracy zostały wprowadzone do późniejszych wersji elementów?

musimy zastanowić się, co Sekstus Empiricus mówi o definicjach. Pierwsza wzmianka, że Sekstus napisał około 200 r.n. e. i do stosunkowo niedawna wierzono, że Czapla żyła później. Gdyby tak było, to oczywiście Sekstus nie mógłby powołać się na cokolwiek napisanego przez Herona. Jednak niedawno Czapla została datowana na pierwszy wiek naszej ery i to mówi nam, że Sekstus napisał po Czapli. Drugą częścią układanki, którą musimy tutaj rozważyć, jest najwcześniejsza wersja Elementów Euklidesa. Kiedy Wezuwiusz wybuchł w 79 r.n. e., Herkulanum wraz z Pompejami i Stabiae zostało zniszczone. Herkulanum zostało pochowane przez zwartą masę materiału o głębokości około 16 m, która zachowała miasto do czasu rozpoczęcia wykopalisk w XVIII wieku. Specjalne warunki wilgotności podłoża zachowane drewno, tkaniny, żywność, a w szczególności papirusy, które dają nam ważne informacje. Jeden papirus znaleziony tam zawiera fragmenty elementów i został wyraźnie napisany przed 79 r.n. e. Ponieważ Filodemus, uczeń Zenona z Sydonu, zabrał tam swoją bibliotekę papirusów jakiś czas po 75 R. p. n. e., Wersja elementów prawdopodobnie pochodzi z tej daty.
wróćmy do Sekstusa, który pisze o „matematykach opisujących byty geometryczne” i interesujące jest to, że słowo „opisujący” nie jest używane w elementach, ale jest używane przez Herona w definicjach pojęć w geometrii. Ponownie podane przez niego opisy są bliższe dokładnym słowom pojawiającym się w Czapli niż te z Euklidesa. Gdy Sekstus podaje „definicję okręgu”, używa słowa” definicja”, które jest określeniem Euklidesa. Sekstus cytuje precyzyjną definicję koła, która pojawia się we fragmencie Herkulanum. Nie obejmuje to definicji „obwodu”, chociaż Euklides używa pojęcia obwodu okręgu. Późniejsze wersje elementów, które do nas dotarły, zawierają definicję „obwodu” w definicji okręgu.
żaden z powyższych nie dowodzi, czy podstawowe definicje obiektów geometrycznych zostały później dodane do elementów. Pokazują one dość przekonująco, że definicja okręgu została rozszerzona o definicję obwodu w późniejszych wydaniach książki. Hipoteza jest taka, że Sekstus ma przed sobą elementy i definicje terminów w geometrii, gdy pisze i używa słowa „opisać”, gdy odnosi się do czapli i” zdefiniować”, gdy odnosi się do Euklidesa. Nawet jeśli to prawda, to nadal nie dowodzi, że wersja elementów siedzących przed Sekstusem nie zawiera podstawowych definicji obiektów geometrycznych, ale sprawia, że taka możliwość jest przynajmniej warta dyskusji. Co o tym myślisz?
jeszcze jeden punkt do przemyślenia. Cytowaliśmy powyżej:

Def. 1.4. Linia prosta leży jednakowo w odniesieniu do punktów na sobie.

co to oznacza? Wydaje się to dziwny opis dla Euklidesa, ponieważ wydaje się bezsensowny. Porównaj ją z definicją linii prostej w definicjach pojęć w geometrii:

linia prosta jest linią, która jednakowo w odniesieniu do wszystkich punktów na sobie leży prosta i maksymalnie napięta między jej kończynami.

ponownie pytamy czytelnika: czy uważasz, że definicja pojawiająca się w elementach jest zniekształceniem definicji Herona i tak została dodana później, czy uważasz, że Euclid podał raczej słabą definicję, którą Heron poprawił? Dlaczego nie używamy definicji linii prostej jako najkrótszej odległości między dwoma punktami?