Articles

Eigenvector i Eigenvalue

by admin

mają wiele zastosowań!

prostym przykładem jest to, że wektor własny nie zmienia kierunku w transformacji:

wektor własny w transformacji

Matematyka tego

dla macierzy kwadratowej a, wektor własny i wartość własna sprawiają, że to równanie jest prawdziwe:

a razy x = lambda razy x

wkrótce zobaczymy, jak je znaleźć (jeśli można je znaleźć), ale najpierw zobaczmy jeden w akcji:

przykład: dla tej macierzy -6 3 4 5 wektor własny jest: 1 4 z odpowiednią wartością własną 6

zróbmy mnożenie macierzy, aby zobaczyć, co otrzymamy.

AV daje nam:

-6
3
4
5
1
4
=
-6×1+3×4
4×1+5×4

=
6
24

λv daje nam :

6
1
4

=
6
24

tak są równe! AV = λv zgodnie z obietnicą.

zauważ, jak mnożymy macierz przez wektor i otrzymujemy taki sam wynik, jak gdy mnożymy Skalar (tylko liczbę) przez ten wektor.

jak znaleźć te eigeny?

zaczynamy od znalezienia wartości własnej: wiemy, że to równanie musi być prawdziwe:

AV = λv

teraz umieścimy macierz tożsamościową, więc mamy do czynienia z macierzą-vs-macierzą:

AV = λIv

przenieśmy wszystko na lewą stronę:

AV − λIv = 0

Jeśli v jest niezerowe, możemy rozwiązać λ używając tylko wyznacznika:

| a-λI | = 0

spróbujmy równanie na poprzednim przykładzie:

przykład: rozwiąż dla λ:

Zacznij z | A − λi | = 0

|
-6
3
4
5

− λ
1
0
0
1
/
 = 0

Który jest:

−6−λ
3
4
5−λ

= 0

Obliczanie tego wyznacznika otrzymuje:

(−6−λ)(5−λ) − 3×4 = 0

Co następnie daje nam to równanie kwadratowe:

λ2 + λ − 42 = 0

i rozwiązując to otrzymuje:

λ = -7 lub 6

i tak, istnieją dwa możliwe wartości własne.

teraz znamy wartości własne, znajdźmy ich pasujące wektory własne.

przykład (ciąg dalszy): Znajdź wektor własny dla wartości własnej λ = 6:

zacznij od: AB = λv

umieścić w wartości, które znamy:

-6
3
4
5

x
z

= 6
x
z

po pomnożeniu otrzymujemy te dwa równania:

−6x + 3y = 6x
4x + 5y = 6y

Bringing all to left hand side:

−12x + 3y = 0
4x − 1y = 0

Either equation reveals that y = 4x, so the eigenvector is any non-zero multiple of this:

1
4

And we get the solution shown at the top of the page:

-6
3
4
5
1
4
=
-6×1+3×4
4×1+5×4

=
6
24

… i jeszcze jedno…

6
1
4

=
6
24

więc av = ΛV

teraz twoja kolej, aby znaleźć wektor własny dla drugiej wartości własnej of -7

dlaczego?

Jaki jest ich cel?

jedną z fajnych rzeczy jest to, że możemy używać macierzy do wykonywania przekształceń w przestrzeni, co jest często używane w grafice komputerowej.

w takim przypadku wektor własny to „kierunek, który nie zmienia kierunku” !

a wartością własną jest skala rozciągnięcia:

  • 1 oznacza brak zmiany,
  • 2 oznacza podwojenie długości,
  • -1 oznacza skierowanie do tyłu wzdłuż kierunku wartości własnej

istnieje również wiele zastosowań w fizyce, itd.

dlaczego „eigen”

Eigen to niemieckie słowo oznaczające „własny” lub „typowy”

„das ist Ihnen eigen” oznacza „to, co jest dla nich typowe”

czasami w języku angielskim używamy słowa „charakterystyczny”, więc wektor własny można nazwać „wektorem charakterystycznym”.

nie tylko dwa wymiary

wektory własne działają doskonale w 3 i wyższych wymiarach.

przykład: znajdź wartości własne dla tej macierzy 3×3: 2 0 0 0 4 5 0 4 3

najpierw Oblicz a-λI:

2
0
0
0
4
5
0
4
3

λ
1
0
0
0
1
0
0
0
1

=
2−λ
0
0
4−λ
5
0
4
3−λ

teraz wyznacznik powinien wynosić zero:

2−λ
0
0
4−λ
5
0
4
3−λ
= 0

czyli:

(2−λ) = 0

To kończy się równaniem sześciennym, ale patrząc na to tutaj widzimy, że jeden z pierwiastków to 2 (z powodu 2−λ), a część wewnątrz nawiasów kwadratowych jest kwadratowa, z pierwiastkami -1 i 8.

więc wartości własne to -1, 2 i 8

przykład (ciąg dalszy): znajdź własny wektor odpowiadający wartości własnej -1 umieścić w wartości, które znamy:

2
0
0
0
4
5
0
4
3

x
g
z
= -1
x
g
z

po pomnożeniu otrzymujemy te równania:

2x = −x
4y + 5z = −y
4y + 3z = −z

Bringing all to left hand side:

3x = 0
5y + 5z = 0
4y + 4z = 0

So x = 0, and y = −z and so the eigenvector is any non-zero multiple of this:

0
1
−1

TEST Av:

2
0
0
0
4
5
0
4
3

0
1
-1

=
0
4-5
4-3

=
0
-1
1

i ΛV:

-1
0
1
-1

=
0
-1
1

skok av = ΛV, brawo!

(Możesz spróbować swoich sił w wartościach własnych 2 i 8)

obracając

ponownie w świecie 2D, ta matryca wykona obrót o θ:

cos(θ)
−sin(θ)
sin(θ) θ)
cos(θ)

przykład: Obróć o 30°

cos(30°) = √32 i sin(30°) = 12, więc:

cos(30°)
−sin(30°)
sin(30°)
cos(30°)

=
√32
-12
12
√32

ale jeśli obrócimy wszystkie punkty, co to jest „kierunek, który nie zmienia kierunku”?

przekształcenie rotacyjne

przejrzyjmy matematykę, aby się tego dowiedzieć:

najpierw Oblicz a-λI:

√32
-12
12
√32

− λ
1
0
0
1
=
√32−λ
-12
12
√32−λ

teraz wyznacznik musi wynosić zero:

√32−λ
-12
12
√32−λ

= 0

co jest równe:

(√32−λ)(√32-λ) − (-12)(12) = 0

, które staje się tym równaniem kwadratowym:

λ2 − (√3)λ + 1 = 0

którego korzenie są:

λ = √32 ± I2

wartości własne są złożone!

Nie wiem jak ci to pokazać na wykresie, ale i tak mamy rozwiązanie.

wektor własny

czym więc jest wektor własny, który pasuje, powiedzmy, do pierwiastka √32 + I2?

zacznij od:

AV = λv

wpisz wartości, które znamy:

√32
-12
12
√32

x
g

= (√32 + I2)
x
z

po pomnożeniu otrzymujemy następujące dwa równania: √32x − 12 lat życia = √32x + i2x 12x + √32Y = √32Y + i2y co upraszcza do: −y = IX x = IY A rozwiązaniem jest dowolny niezerowy bajt:

i
1

lub

−i
1

wow, taka prosta odpowiedź!

czy to dlatego, że wybraliśmy 30°? A może działa dla dowolnej matrycy rotacyjnej? Pozwolę ci to rozwiązać! Spróbuj innego kąta, albo jeszcze lepiej Użyj „cos (θ)” i ” sin (θ)”.

och, i sprawdźmy przynajmniej jedno z tych rozwiązań:

√32
-12
12
√32

I
1
=
I√32 − 12
I2 + √32

czy to pasuje?

(√32 + i2)
I
1
=
i√32 − 12
√32 + i2

o tak, to jest to!