E (Liczba Eulera)
liczba e jest jedną z najważniejszych liczb w matematyce.
kilka pierwszych cyfr to:
2.7182818284590452353602874713527 (i więcej …)
często nazywana jest liczbą Eulera po Leonhardzie Eulerze (wymawianym „Oiler”).
e jest liczbą irracjonalną (nie może być zapisana jako ułamek prosty).
e jest podstawą logarytmów naturalnych (wymyślonych przez Johna Napiera).
e znajduje się w wielu ciekawych dziedzinach, więc warto się o tym dowiedzieć.
Obliczanie
istnieje wiele sposobów obliczania wartości e, ale żaden z nich nigdy nie daje całkowicie dokładnej odpowiedzi, ponieważ e jest irracjonalne, a jego cyfry trwają wiecznie bez powtórzeń.
ale wiadomo o ponad 1 bilionie cyfr dokładności!
na przykład wartość (1 + 1/n) n zbliża się do e, gdy n staje się coraz większe:
| n | (1 + 1/n)n |
| 1 | 2.00000 |
| 2 | 2.25000 |
| 5 | 2.48832 |
| 10 | 2.59374 |
| 100 | 2.70481 |
| 1,000 | 2.71692 |
| 10,000 | 2.71815 |
| 100,000 | 2.71827 |
Try it! Put „(1 + 1/100000)^100000” into the calculator:
(1 + 1/100000)100000
What do you get?
kolejne obliczenie
wartość E jest również równa 10! + 11! + 12! + 13! + 14! + 15! + 16! + 17! + … (etc)
(Uwaga:”!”czyli silnia)
kilka pierwszych pojęć sumuje się do: 1 + 1 + 12 + 16 + 124 + 1120 = 2.71666…
w rzeczywistości sam Euler użył tej metody do obliczenia e do 18 miejsc po przecinku.
możesz sam spróbować w kalkulatorze Sigma.
zapamiętywanie
aby zapamiętać wartość e (do 10 miejsc) wystarczy pamiętać to powiedzenie (policz litery!):
- do
- wyraź
- e
- zapamiętaj
- zapamiętaj
- a
- zdanie
- do
- zapamiętaj
- ten
lub możesz zapamiętać ciekawy wzór, że po „2.7” liczba „1828” pojawia się dwa razy:
2.7 1828 1828
i następujące po nich cyfry kątów 45°, 90°, 45° w trójkącie równoramiennym prostokątnym (bez prawdziwego powodu, po prostu jak to jest):
2.7 1828 1828 45 90 45
(natychmiastowy sposób, aby wydawać się naprawdę inteligentnym!)
wzrost
e jest używany w” naturalnej ” funkcji wykładniczej:
Wykres F(x) = ex
ma tę wspaniałą właściwość: „jego nachylenie jest jego wartością”
w dowolnym punkcie nachylenie ex jest równe wartości ex :
gdy x=0, wartość Ex = 1, i nachylenie = 1
gdy x=1, wartość Ex = e, i nachylenie = e
itd…
To jest prawda wszędzie dla ex, i sprawia, że niektóre rzeczy w rachunku (gdzie musimy znaleźć stoki) o wiele łatwiejsze.
Powierzchnia
powierzchnia do dowolnej wartości x jest również równa ex :
ciekawa właściwość
dla zabawy spróbuj „Wytnij, a następnie pomnóż”
powiedzmy, że przecinamy liczbę na równe części, a następnie mnożymy te części razem.
przykład: pociąć 10 na 2 kawałki i pomnożyć je:
każdy „kawałek” ma rozmiar 10/2 = 5
5×5 = 25
teraz … jak możemy uzyskać odpowiedź, aby była tak duża, jak to możliwe, jaki rozmiar powinien być każdy kawałek?
odpowiedź: aby Części jak najbliżej” e ” w rozmiarze.
przykład: 10
zwycięzcą jest liczba najbliższa „e”, w tym przypadku 2.5.
spróbuj sam z innym numerem, powiedzmy 100,… co dostajesz?
100 cyfr dziesiętnych
oto e do 100 cyfr dziesiętnych:
2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957
49669676277240766303535475945713821785251664274…
zaawansowane: użycie e w procentach złożonych
często Liczba e pojawia się w nieoczekiwanych miejscach. Na przykład w finansach.
wyobraź sobie wspaniały bank, który płaci 100% odsetek.
w ciągu roku możesz zamienić 1000 $na 2000$.
teraz wyobraź sobie, że bank płaci dwa razy w roku, czyli 50% i 50%
W połowie roku masz $1500,
reinwestujesz na resztę roku, a twoje $1500 rośnie do $2250
masz więcej pieniędzy, ponieważ reinwestowałeś w połowie.
to się nazywa odsetki złożone.
czy moglibyśmy dostać jeszcze więcej, gdybyśmy podzielili rok na miesiące?
możemy użyć tego wzoru:
(1+r/n)n
r = roczna stopa procentowa (jako dziesiętna, więc 1 nie 100%)
n = liczba okresów w ciągu roku
nasz półroczny przykład TO:
(1+1/2)2 = 2.25
spróbujmy co miesiąc:
(1+1/12)12 = 2.613…
spróbujmy 10000 razy w roku:
(1+1/10,000)10,000 = 2.718…
tak, zmierza w kierunku e (i tak odkrył ją Jacob Bernoulli).
dlaczego tak się dzieje?
odpowiedź polega na podobieństwie między:
| formuła składająca: | (1 + r/n)n | |
| i | ||
| e (gdy n zbliża się do nieskończoności): | (1 + 1/N)n |
formuła składająca jest bardzo podobna do Formuły e (gdy n dąży do nieskończoności), tylko z dodatkowym r (stopą procentową).
Kiedy wybraliśmy stopę procentową 100% (=1 jako dziesiętny), wzory stały się takie same.
Czytaj ciągłe składanie, aby uzyskać więcej.
wzór Eulera na Liczby zespolone
e pojawia się również w tym najbardziej niesamowitym równaniu:
ein + 1 = 0
Czytaj więcej tutaj
transcendentalna
e jest również liczbą transcendentalną.
Leave a Reply