wprowadzenie

matematyczne równania są nie tylko użyteczne — wiele z nich jest całkiem pięknych. I wielu naukowców przyznaje, że często lubią konkretne formuły nie tylko ze względu na ich funkcję, ale i formę, a także proste, poetyckie prawdy, które zawierają.

podczas gdy niektóre słynne równania, takie jak E = mc^2 Alberta Einsteina, wywierają większość publicznej chwały, wiele mniej znanych formuł ma swoich mistrzów wśród naukowców. LiveScience poprosiło fizyków, astronomów i matematyków o ich ulubione równania; oto, co znaleźliśmy:

ogólna teoria względności

(źródło obrazu: /R. T. Wohlstadter)

powyższe równanie zostało sformułowane przez Einsteina jako część jego przełomowej ogólnej teorii względności w 1915 roku. Teoria zrewolucjonizowała sposób, w jaki naukowcy rozumieli grawitację, opisując siłę jako wypaczenie struktury przestrzeni i czasu.

„to wciąż niesamowite dla mnie, że jedno takie równanie matematyczne może opisać, o co chodzi w czasoprzestrzeni”, powiedział astrofizyk Space Telescope Science Institute Mario Livio, który nominował to równanie jako swoje ulubione. „Cały prawdziwy geniusz Einsteina jest zawarty w tym równaniu.”

” prawa strona tego równania opisuje zawartość energii naszego wszechświata (w tym „ciemną energię”, która napędza obecne przyspieszenie kosmiczne)”, wyjaśnił Livio. „Lewa strona opisuje geometrię czasoprzestrzeni. Równość odzwierciedla fakt, że w ogólnej teorii względności Einsteina masa i energia determinują geometrię, a jednocześnie krzywiznę, która jest przejawem tego, co nazywamy grawitacją.”

” to bardzo eleganckie równanie”, powiedział Kyle Cranmer, fizyk z New York University, dodając, że równanie ujawnia związek między czasoprzestrzenią a materią i energią. „To równanie mówi, jak są one powiązane — jak obecność słońca wypacza czasoprzestrzeń, tak że Ziemia porusza się wokół niej na orbicie itp. Mówi również, jak wszechświat ewoluował od Wielkiego Wybuchu i przewiduje, że powinny istnieć czarne dziury.”

Model Standardowy

kolejna z panujących teorii fizyki, model standardowy opisuje zbiór podstawowych cząstek, które obecnie tworzą nasz wszechświat.

teoria może być zawarta w głównym równaniu zwanym standardowym modelem Lagrangiana (nazwanym na cześć XVIII-wiecznego francuskiego matematyka i astronoma Josepha Louisa Lagrange 'a), które zostało wybrane przez fizyka teoretycznego Lance’ a Dixona z SLAC National Accelerator Laboratory w Kalifornii jako jego ulubiona formuła.

„udało się opisać wszystkie cząstki elementarne i siły, które do tej pory zaobserwowaliśmy w laboratorium — z wyjątkiem grawitacji”, powiedział Dixon LiveScience. „Obejmuje to, oczywiście, niedawno odkryty bozon Higgsa (podobny), phi we wzorze. Jest w pełni zgodny z mechaniką kwantową i szczególną teorią względności.”

teoria Modelu Standardowego nie została jednak jeszcze zjednoczona z ogólną teorią względności, dlatego nie może opisać grawitacji.

Rachunek różniczkowy

podczas gdy dwa pierwsze równania opisują poszczególne aspekty naszego wszechświata, inne ulubione równanie można zastosować do wszystkich sytuacji. Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego stanowi podstawę metody matematycznej znanej jako rachunek różniczkowy i łączy dwie główne idee, koncepcję całki i koncepcję pochodnej.

” w prostych słowach mówi, że zmiana netto gładkiej i ciągłej ilości, takiej jak przebyta odległość, w danym przedziale czasowym (tj. różnica w wartościach ilości w punktach końcowych przedziału czasu) jest równa całce szybkości zmiany tej ilości, tj. całce prędkości”, powiedziała Melkana Brakalova-Trevithick, przewodnicząca wydziału matematyki na Uniwersytecie Fordham,która wybrała to równanie jako swoje ulubione. „Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego (FTC) pozwala nam określić zmianę netto w przedziale na podstawie szybkości zmiany w całym przedziale.”

nasiona rachunku różniczkowego zaczęły się w czasach starożytnych, ale większość z nich została złożona w XVII wieku przez Isaaca Newtona, który użył rachunku różniczkowego do opisu ruchów planet wokół Słońca.

twierdzenie Pitagorasa

równanie „stare, ale dobre” to słynne twierdzenie Pitagorasa, którego uczy się każdy początkujący student geometrii.

Ten wzór opisuje, jak dla dowolnego trójkąta prostokątnego kwadrat długości przeciwprostokątnej c (najdłuższy bok trójkąta prostokątnego) jest równy sumie kwadratów długości pozostałych dwóch boków (a i b). Tak więc, a^2 + b^2 = C^2

„pierwszym matematycznym faktem, który mnie zadziwił, było twierdzenie Pitagorasa”, powiedział matematyk Daina Taimina z Cornell University. „Byłem wtedy dzieckiem i wydawało mi się to tak niesamowite, że działa w geometrii i działa z liczbami!”

1 = 0.999999999 …

To proste równanie, które stwierdza, że ilość 0,999, po której następuje nieskończony ciąg dziewiątek, jest odpowiednikiem jednego, jest ulubieńcem matematyka Stevena strogatza z Cornell University.

„uwielbiam to, jak proste jest — każdy rozumie, co mówi — ale jak prowokacyjne jest” – powiedział Strogatz. „Wielu ludzi nie wierzy, że to może być prawda. Jest również pięknie wyważony. Lewa strona reprezentuje początek matematyki; prawa strona reprezentuje tajemnice nieskończoności.”

szczególna teoria względności

Einstein tworzy listę ponownie ze swoimi formułami dla szczególnej teorii względności, które opisują, jak czas i przestrzeń nie są pojęciami absolutnymi, lecz względnymi w zależności od prędkości obserwatora. Powyższe równanie pokazuje, jak czas rozszerza się lub spowalnia, im szybciej osoba porusza się w dowolnym kierunku.

„chodzi o to, że to naprawdę bardzo proste”, powiedział Bill Murray, fizyk cząstek elementarnych w laboratorium CERN w Genewie. „Nie ma tam nic, czego uczeń na poziomie A nie mógłby zrobić, żadnych złożonych pochodnych i algebr śladowych. Ale uosabia to zupełnie nowy sposób patrzenia na świat, cały stosunek do rzeczywistości i nasz stosunek do niej. Nagle sztywny, niezmienny kosmos zostaje zmieciony i zastąpiony przez osobisty świat, związany z tym, co obserwujesz. Przechodzisz od bycia poza wszechświatem, patrząc w dół, do jednego ze składników wewnątrz niego. Ale pojęcia i obliczenia mogą być zrozumiane przez każdego, kto chce.”

Murray powiedział, że wolał specjalne równania względności od bardziej skomplikowanych formuł w późniejszej teorii Einsteina. „Nigdy nie mógłbym podążać za matematyką ogólnej teorii względności”

równanie Eulera

Ten prosty wzór zawiera coś czystego w naturze sfer:

„To mówi, że jeśli przetniesz powierzchnię kuli na twarze, krawędzie i wierzchołki, i niech F będzie liczbą twarzy, e liczbą krawędzi i V liczbą wierzchołków, zawsze otrzymasz V – E + F = 2”, powiedział Colin Adams, matematyk z Williams College w Massachusetts.

„Weźmy na przykład czworościan, składający się z czterech trójkątów, sześciu krawędzi i czterech wierzchołków” – wyjaśnił Adams. „Jeśli mocno dmuchniesz w czworościan o elastycznych powierzchniach, możesz go zaokrąglić w kulę, więc w tym sensie kulę można pociąć na cztery powierzchnie, sześć krawędzi i cztery wierzchołki. I widzimy, że V-E + F = 2. To samo dotyczy piramidy z pięcioma ścianami-czterema trójkątnymi i jedną kwadratową-ośmioma krawędziami i pięcioma wierzchołkami” oraz każdą inną kombinacją ścian, krawędzi i wierzchołków.

” bardzo fajny fakt! Kombinatoryka wierzchołków, krawędzi i powierzchni uchwyca coś bardzo fundamentalnego w kształcie kuli ” – powiedział Adams.

równania Eulera-Lagrange 'a i twierdzenie Noether’ a

„są dość abstrakcyjne, ale niesamowicie potężne” „Fajne jest to, że ten sposób myślenia o fizyce przetrwał kilka poważnych rewolucji w fizyce, takich jak mechanika kwantowa, teoria względności itp.”

tutaj L oznacza Lagrangian, który jest miarą energii w układzie fizycznym, takim jak sprężyny, dźwignie lub cząstki podstawowe. „Rozwiązanie tego równania mówi ci, jak system będzie ewoluował z czasem”, powiedział Cranmer.

spin-off równania Lagrangiana nazywa się twierdzeniem Noether, po XX-wiecznej Niemieckiej matematyce Emmy Noether. „To twierdzenie jest naprawdę fundamentalne dla fizyki i roli symetrii”, powiedział Cranmer. „Nieformalnie, twierdzenie jest takie, że jeśli Twój system ma symetrię, to istnieje odpowiednie prawo zachowania. Na przykład, idea, że podstawowe prawa fizyki są takie same dzisiaj jak jutro (symetria czasu) sugeruje, że energia jest zachowana. Idea, że prawa fizyki są takie same, jak w przestrzeni kosmicznej, sugeruje, że pęd jest zachowany. Symetria jest być może motorem napędowym w fizyce fundamentalnej, przede wszystkim ze względu na wkład.”

równanie Callana-Symanzika

„Callan-równanie symanzika jest istotnym równaniem pierwszych zasad z 1970 roku, niezbędnym do opisania, jak naiwne oczekiwania zawiodą w świecie kwantowym”, powiedział fizyk teoretyczny Matt strassler z Rutgers University.

równanie ma wiele zastosowań, m.in. pozwala fizykom oszacować masę i wielkość protonu i neutronu, które tworzą jądra atomów.

Podstawowa fizyka mówi nam, że siła grawitacji i siła elektryczna między dwoma obiektami jest proporcjonalna do odwrotności odległości między nimi do kwadratu. Na prostym poziomie, to samo dotyczy silnej siły jądrowej, która wiąże protony i neutrony razem tworząc jądra atomów, i która wiąże kwarki razem tworząc protony i neutrony. Jednak niewielkie fluktuacje kwantowe mogą nieznacznie zmienić zależność siły od odległości, co ma dramatyczne konsekwencje dla silnej siły jądrowej.

„zapobiega to zmniejszaniu się tej siły na duże odległości i powoduje, że zatrzymuje kwarki i łączy je, tworząc protony i neutrony naszego świata”, powiedział Strassler. „Równanie Callana-Symanzika odnosi ten dramatyczny i trudny do obliczenia efekt, ważny, gdy jest mniej więcej wielkości protonu, do bardziej subtelnych, ale łatwiejszych do obliczenia efektów, które można zmierzyć, gdy jest znacznie mniejszy niż proton.”

Minimalne równanie powierzchni

„Minimalne równanie powierzchni w jakiś sposób koduje piękne filmy mydlane, które formuj na granicach drutu, gdy zanurzasz je w wodzie z mydłem” – powiedział matematyk Frank Morgan z Williams College. „Fakt, że równanie jest 'nieliniowe’, obejmujące moce i produkty pochodnych, jest zakodowaną matematyczną wskazówką dla zaskakującego zachowania filmów mydlanych. Jest to w przeciwieństwie do bardziej znanych liniowych równań różniczkowych cząstkowych, takich jak równanie ciepła, równanie falowe i równanie Schrödingera fizyki kwantowej.”