Rational Exponents

Learning Objective(s)

· Convert radicals to expressions with rational exponents.

· Convert expressions with rational exponents to their radical equivalent.

· Use the laws of exponents to simplify expressions with rational exponents.

· Use rational exponents to simplify radical expressions.

vierkantswortels worden meestal geschreven met behulp van een radicaal teken, zoals dit, . Maar er is een andere manier om het nemen van een wortel weer te geven. Je kunt rationele exponenten gebruiken in plaats van een radicaal. Een rationele exponent is een exponent die een fractie is. Bijvoorbeeld, kan worden geschreven als .kan

zich niet voorstellen een getal te verhogen tot een rationele exponent? Ze zijn misschien moeilijk te wennen, maar rationele exponenten kunnen eigenlijk helpen sommige problemen te vereenvoudigen. Laten we de relatie onderzoeken tussen rationele (fractionele) exponenten en radicalen.

radicalen en fractionele exponenten zijn alternatieve manieren om hetzelfde uit te drukken. Je hebt al gezien hoe vierkantswortels kunnen worden uitgedrukt als een exponent aan de macht van de helft.

Let’s look at some more examples, but this time with cube roots. Denk eraan, door een getal te cuben stijgt het tot de macht van drie. Merk op dat in deze voorbeelden de noemer van de rationele exponent het getal 3 is.

These examples help us model a relationship between radicals and rationele exponenten: namelijk dat de nde wortel van een getal kan worden geschreven als of .

When faced with an expressie met een rationele exponent, je kunt het herschrijven met behulp van een radicaal. Zie in de bovenstaande tabel hoe de noemer van de rationale exponent de index van de wortel bepaalt. Dus, een exponent van vertaalt naar de vierkantswortel, een exponent van vertaalt naar de vijfde wortel of , en vertaalt naar de achtste wortel of .

Vergeet niet dat exponenten enkel te verwijzen naar de hoeveelheid onmiddellijk aan hun linkerkant, tenzij een scheidingsteken wordt gebruikt. Het voorbeeld hieronder lijkt erg op het vorige voorbeeld met één belangrijk verschil-Er zijn geen haakjes! Kijk wat er gebeurt.

Just as you can rewrite an expression with a rational exponent as a radical expression, you can express a radical expression using a rational exponent.

Alle tellers voor de fractiewaarde van de exponenten in de bovenstaande voorbeelden was 1. U kunt fractionele exponenten met andere tellers dan 1 gebruiken om wortels uit te drukken, zoals hieronder getoond. Zie je patronen in deze tabel?

To herschrijf een radicaal met behulp van een fractionele exponent, de macht tot welke de radicand wordt verhoogd wordt de teller en de wortel wordt de noemer.

writing fractionele exponenten

elke radicaal in de vorm kan worden geschreven met behulp van een fractionele exponent in de vorm .

de relatie tussen en werkt ook voor rationale exponenten met een teller van 1. Bijvoorbeeld, de radicale kan ook geschreven worden als , omdat elk getal dezelfde waarde blijft als het wordt verhoogd tot de eerste macht. U kunt nu zien waar de teller van 1 vandaan komt in de equivalente vorm van .

laten we nu enkele radicale expressies verkennen en zien hoe we ze kunnen vereenvoudigen. Hier is een radicale uitdrukking die vereenvoudigd moet worden, .

een methode om deze uitdrukking te vereenvoudigen is om groepen van a3 te factor en eruit te trekken, zoals hieronder in dit voorbeeld wordt getoond.

U kunt ook een vereenvoudiging van deze expressie door na te denken over de radicale als een expressie met een rationale exponent, en met behulp van het principe dat een radicaal in de vorm kan worden geschreven met een gebroken exponent in de vorm .

Note that rational exponents are subject to all of the same rules as other exponents when they appear in algebraic expressions.

beide vereenvoudigingsmethoden gaven hetzelfde resultaat, a2. Afhankelijk van de context van het probleem kan het makkelijker zijn om de ene of de andere methode te gebruiken, maar voor nu zul je merken dat je in staat was om deze expressie sneller te vereenvoudigen met behulp van rationele exponenten dan bij het gebruik van de “pull-out” methode.

laten we een ander voorbeeld proberen.

Nogmaals, de alternatieve methode is om te werken aan de vereenvoudiging van onder de radicale door het gebruik van factoring. Voor het voorbeeld dat je net hebt opgelost, ziet het er zo uit.

Which of the expressions below is equal to the expression when written using a rational exponent?

A)

B)

C)

D)

laten we een meer gecompliceerde uitdrukking proberen, . Deze uitdrukking heeft twee variabelen, een breuk en een radicaal. Laten we het stap voor stap doen en kijken of het gebruik van fractionele exponenten ons kan helpen het te vereenvoudigen.

laten we beginnen met het vereenvoudigen van de noemer, omdat dit is waar het radicale teken zich bevindt.

Nou, dat duurde een tijdje, maar je deed het. Je paste toe wat je weet over fractionele exponenten, negatieve exponenten en de regels van exponenten om de expressie te vereenvoudigen.

een radicaal kan worden uitgedrukt als een uitdrukking met een fractionele exponent door de conventie te volgen . Het herschrijven van radicalen met fractionele exponenten kan nuttig zijn bij het vereenvoudigen van sommige radicale uitdrukkingen. Bij het werken met fractionele exponenten, onthoud dat fractionele exponenten zijn onderworpen aan alle van dezelfde regels als andere exponenten wanneer ze verschijnen in algebraïsche uitdrukkingen.