Articles

MacTutor

by admin

Boek 1 van de elementen begint met talrijke definities gevolgd door de beroemde vijf postulaten. Voordat Euclides stellingen begint te bewijzen, geeft hij een lijst van algemene noties. De eerste paar definities zijn:

de postulaten zijn constructies zoals:

men kan een rechte lijn tekenen van elk punt naar elk punt.

de gemeenschappelijke begrippen zijn axioma ‘ s zoals:

dingen gelijk aan hetzelfde ding zijn ook gelijk aan elkaar.

we moeten bepaalde dingen noteren.Euclides lijkt twee keer een punt te definiëren (definities 1 en 3) en twee keer een regel (definities 2 en 4). Dit is nogal vreemd.

  • Euclid maakt nooit gebruik van de definities en verwijst er nooit naar in de rest van de tekst.
  • sommige concepten zijn nooit gedefinieerd. Er is bijvoorbeeld geen notie van het rangschikken van de punten op een lijn, dus het idee dat één punt tussen twee andere ligt is nooit gedefinieerd, maar het wordt natuurlijk gebruikt.
  • zoals we opmerkten in de reële getallen: Pythagoras aan Stevin, Boek V van de elementen beschouwt magnitudes en de theorie van de proportie van magnitudes. Euclides laat echter het begrip magnitude niet gedefinieerd en dit lijkt voor moderne lezers alsof Euclides er niet in is geslaagd om magnitudes op te zetten met de strengheid waarvoor hij beroemd is.
  • wanneer Euclides grootheden en getallen introduceert, geeft hij enkele definities, maar geen postulaten of algemene noties. Men zou bijvoorbeeld kunnen verwachten dat Euclides a+b=b+a postuleert, (a+b)+c=a+(b+c)a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c)a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c), enz. maar dat doet hij niet.
  • wanneer Euclides getallen introduceert in boek VII maakt hij een definitie die vergelijkbaar is met de basis aan het begin van Boek I:
    Een eenheid is die op grond waarvan elk van de dingen die bestaan één worden genoemd. sommige historici hebben gesuggereerd dat het verschil tussen de manier waarop basisdefinities aan het begin van Boek I en van Boek V voorkomen, niet is omdat Euclides minder streng was in Boek V, maar eerder dat Euclides zijn basisbegrippen altijd ongedefinieerd heeft gelaten en dat de definities aan het begin van Boek I latere toevoegingen zijn. Wat is het bewijs hiervoor?de eerste opmerking zou zijn dat dit zou verklaren waarom Euclides nooit naar de basisdefinities verwijst. Als ze niet in de tekst stonden die Euclides schreef, dan kon hij er natuurlijk niet naar verwijzen. Het volgende punt om op te merken is dat ze zeer vergelijkbaar zijn met het werk dat wordt toegeschreven aan Heron genaamd definities van termen in de meetkunde. Dit bevat 133 definities van geometrische termen die beginnen met punten, lijnen etc. die heel dicht bij die van Euclides liggen. In Knorr argumenteert overtuigend dat dit werk in feite aan Diophantus te danken is. Het gaat hier om het volgende. Zijn definities van termen in de meetkunde gebaseerd op de elementen van Euclides of zijn de basisdefinities uit dit werk opgenomen in latere versies van de elementen?we moeten overwegen wat Sextus Empiricus zegt over definities. Eerste opmerking: Sextus schreef ongeveer 200 na Christus en tot voor kort werd aangenomen dat Heron later dan dit leefde. Mocht dit het geval zijn, dan had Sextus natuurlijk niet kunnen verwijzen naar iets geschreven door Heron. Recenter is Heron echter gedateerd in de eerste eeuw na Christus en dit vertelt ons dat Sextus naar Heron schreef. Het andere deel van de puzzel die we hier moeten overwegen is de vroegste versie van Euclides ‘ elementen die we kunnen vinden. Toen de Vesuvius in 79 n.Chr. uitbrak, werd Herculaneum samen met Pompeii en Stabiae vernietigd. Herculaneum werd begraven door een compacte massa van materiaal ongeveer 16 m diep die de stad bewaard tot opgravingen begonnen in de 18e eeuw. Speciale voorwaarden van de vochtigheid van de grond geconserveerd hout, doek, voedsel, en in het bijzonder papyri die ons belangrijke informatie geven. Een papyrus die daar gevonden werd bevat fragmenten van de elementen en werd duidelijk geschreven voor 79 n.Chr. Aangezien Philodemus, een student van Zeno van Sidon, zijn bibliotheek van papyri daar enige tijd na 75 v.Chr. Nam, zal de versie van de elementen waarschijnlijk van rond die datum zijn.laten we teruggaan naar Sextus die schrijft over “wiskundigen die meetkundige entiteiten beschrijven” en het is interessant dat het woord “beschrijven” niet in de elementen wordt gebruikt, maar door Heron wordt gebruikt in definities van termen in de meetkunde. Opnieuw zijn de beschrijvingen die hij geeft dichter bij de exacte woorden die in Heron voorkomen dan die van Euclides. Wanneer Sextus “de definitie van een cirkel” geeft, gebruikt hij het woord “definitie”, dat is die van Euclides. Sextus citeert de precieze definitie van een cirkel die voorkomt in het fragment van Herculaneum. Dit omvat geen definitie van “omtrek”, hoewel Euclides wel het begrip “omtrek van een cirkel” gebruikt. De latere versies van de elementen die tot ons zijn gekomen bevatten een definitie van “omtrek” binnen de definitie van een cirkel.
    Geen van de bovenstaande bewijzen of de basisdefinities van geometrische objecten later aan de elementen zijn toegevoegd. Ze laten vrij overtuigend zien dat de definitie van een cirkel is uitgebreid met de definitie van omtrek in latere edities van het boek. De hypothese is dat Sextus de elementen en definities van termen in de meetkunde voor zich heeft wanneer hij schrijft en hij het woord “beschrijven” gebruikt wanneer hij verwijst naar Heron en “definiëren” wanneer hij verwijst naar Euclides. Zelfs als dit klopt bewijst het nog niet dat de versie van de elementen die voor Sextus zitten geen basisdefinities van geometrische objecten bevat, maar het maakt een dergelijke mogelijkheid op zijn minst de moeite waard om te bespreken. Wat denk jij?een laatste punt om over na te denken. We citeerden hierboven:

    Def. 1.4. Een rechte lijn ligt evenzeer ten opzichte van de punten op zichzelf.

    wat betekent dit? Het lijkt een vreemde beschrijving voor Euclides om te geven, want het lijkt betekenisloos te zijn. Vergelijk het met de definitie van een rechte lijn in definities van termen in de meetkunde:

    een rechte lijn is een lijn die gelijk met betrekking tot alle punten op zichzelf recht en maximaal strak tussen de uiteinden ligt.

    we vragen de lezer opnieuw: denkt u dat de definitie die in de elementen voorkomt een corruptie is van Heron ‘ s definitie en dus later werd toegevoegd, of denkt u dat Euclides een vrij slechte definitie gaf die door Heron werd verbeterd? Waarom wordt de definitie van een rechte lijn niet gebruikt als de kortste afstand tussen twee punten?