nu uitgerust met de principes van de logicatheorie en de basisnotatie, is het tijd om het begrip equivalentie in de logica te onderzoeken. Specifiek, wat maakt twee samengestelde gebouwen gelijk?

twee samengestelde premissen X & Y zijn logisch equivalent als voor elke toewijzing van waarheidswaarden aan de primitieve premissen waaruit X & Y bestaat, de stellingen X & Y identieke waarheidswaarden hebben.

dat is een lastige definitie om door te slikken, maar het is de toepassing van deze definitie die we belangrijk vinden om te leren. Om dit te bereiken, zullen we door meerdere, steeds ingewikkelder voorbeelden lopen. Laten we eerst een omweg nemen om wat meer te leren over onze Excalibur voor deze reis — een van de meest eenvoudige, maar krachtige hulpmiddelen voor logici om logische equivalentie te bewijzen: waarheidstabellen.

een waarheidstabel is een visueel hulpmiddel, in de vorm van een diagram met rijen & kolommen, dat de waarheid of valsheid van een samengestelde premisse toont. Het is een manier van het organiseren van informatie om een lijst van alle mogelijke scenario ‘ s van de verstrekte lokalen. Laten we beginnen met de meest eenvoudige voorbeeld van een waarheidstabel met een afbeelding van een enkel uitgangspunt manipulatie: een negatie (~) van een primitieve huisvesting (P)

de Waarheid tafels zijn altijd te lezen van links naar rechts, met een primitieve huisvesting in de eerste kolom. In het voorbeeld hierboven staat onze primitieve premisse (P) in de eerste kolom; terwijl de resulterende premisse (~P), post-negatie, kolom twee vormt.

Het is gemakkelijk om hier over na te denken — vergeet niet dat een premisse gewoon een statement is dat waar of onwaar is. Aangezien dit voorbeeld slechts een enkele aanname heeft, hoeven we slechts twee uitkomsten te volgen; resulterend in twee rijen voor wanneer P waar is of wanneer het onwaar is. Rij één beschrijft, lezend van links naar rechts, dat als P waar is, dan is de negatie van P onwaar; rij twee toont dat als P Al onwaar is, dan is de negatie van P waar.

laten we verder gaan met een ingewikkelder voorbeeld van waarheidstabellen in het wild door een verbinding in te voegen die we eerder hebben gezien: de implicatie (->). Om dit een tikkeltje beter verteerbaar te maken, laten we onze statements p & Q enige context toewijzen voordat we onze waarheidstabel opbouwen:

P: Thanos knapte met zijn vingers

Q: 50% van alle levende dingen verdwenen

voordat we hieronder kijken, denk door deze structuur na gezien de details hierboven. Ten eerste ,omdat we twee primitieve premissen hebben (P, Q), weten we dat we minstens twee kolommen nodig hebben; daarnaast moeten we ons voorbereiden op de resulterende premisse met de implicatie connective (P -> Q), die een andere kolom vereist. In totaal drie kolommen.

hoe zit het met rijen? Omdat we twee premissen hebben die elk waar of onwaar kunnen zijn, hebben we om alle mogelijke scenario ‘ s te kunnen verantwoorden in totaal vier rijen nodig (P. S — een keurig uitvloeisel hiervan kan worden afgeleid: een waarheidstabel die rekening houdt met n premissen vereist N2 rijen). Laten we nu tekenen van deze tabel uit & zorg ervoor dat het begrijpelijk is:

Recensie van de waarheid bovenstaande tabel rij voor rij. De eerste rij bevestigt dat beide Thanos zijn vingers knapten (P) & 50% van alle levende wezens verdwenen (Q). Aangezien beide premissen waar zijn, dan de resultante van de huisvesting (de implicatie of voorwaardelijke) is ook waar:

Rij twee is even direct begrijpen. Deze keer is P nog steeds waar, maar Q is nu onwaar. De interpretatie hier is “Thanos knapte met zijn vingers, maar 50% van alle levende dingen verdween niet.”Omdat we nu bewijzen de geldigheid van de redenering, is het zinvol de vorige instructie wordt het algemene uitgangspunt als volkomen onwaar:

De laatste twee rijen zijn een beetje meer contra-intuïtief. Er is een snelkoppeling hier: we hoeven alleen maar naar de eerste kolom te kijken om te registreren dat de implicatie waar is. In beide rijen drie & vier is de voorafgaande premisse (P) onwaar — wat alles is wat we moeten weten, ongeacht de waarde van premisse Q, om de implicatie als waar te bepalen.

Waarom leidt een false antecedent altijd tot een true implicatie? Omdat in het universum van onze logische verklaring, aangezien de antecedent niet is gebeurd, is het onmogelijk om alle mogelijke scenario ‘ s die mogelijk Q hebben veroorzaakt te elimineren.bijvoorbeeld, rij 3 zegt dat “Thanos niet met zijn vingers knip nog 50% van alle levende dingen verdwenen” anyways. Nou, voor zover we weten een meteoor, natuurramp, buitenaardse invasie, of talloze andere activiteiten zou kunnen hebben veroorzaakt dat uitsterven — in elk van die scenario ‘ s, ongeacht welke, de implicatie blijft waar omdat we nog steeds niet kunnen bewijzen wat er gebeurt als hij knipt zijn vingers.

on Proving Equivalency

waarheidstabellen zijn gelikte, handige logic-tracking diagrammen die niet alleen te zien zijn in de wiskunde, maar ook in de informatica, elektrotechniek & filosofie. De notatie kan variëren, afhankelijk van welke industrie je bezig bent, maar de basisconcepten zijn hetzelfde. Ze zijn een veelzijdige, interdisciplinaire tool-maar we hebben alleen de oppervlakte van hun nut bekrast.

nu uitgerust met waarheidstabellen, is het tijd om te groeien naar het bewijzen van gelijkwaardigheid tussen meerdere samengestelde premissen. In het volgende artikel in deze serie zullen we onze samengestelde kennis gebruiken om te bewijzen dat twee verschillende samengestelde premissen, zoals de implicatie & contra-positief, gelijk zijn.

oorspronkelijk gepubliceerd op

https://www.setzeus.com/