Eigenvector en eigenwaarde
ze hebben vele toepassingen!
Een eenvoudig voorbeeld is dat een eigenvector niet van richting veranderen in een transformatie:
De Wiskunde Van Het
Voor een vierkante matrix a, Een Eigenvector en Eigenwaarde maken van deze vergelijking is voldaan:
We zullen zien hoe ze te vinden (als ze kunnen worden gevonden) snel, maar laat ons eerst te zien in een actie:
Voorbeeld: Voor deze matrix -6 3 4 5 een eigenvector is: 1 4 met de overeenkomende eigenwaarde van 6
laten we wat matrix vermenigvuldigingen doen om te zien wat we krijgen.
Av geeft ons:
λv geeft ons :
Ja, ze zijn gelijk! Dus Av = λv zoals beloofd.
merk op hoe we een matrix vermenigvuldigen met een vector en hetzelfde resultaat krijgen als wanneer we een scalar (slechts een getal) vermenigvuldigen met die vector.
hoe vinden we deze eigen dingen?
we beginnen met het vinden van de eigenwaarde: we weten dat deze vergelijking waar moet zijn:
Av = λv
laten we nu een identiteitsmatrix plaatsen zodat we te maken hebben met matrix-vs-matrix:
Av = λIv
Breng alles naar de linkerkant:
Av − λIv = 0
Als v niet-nul is dan kunnen we oplossen voor λ met alleen de determinant:
| A − λI | = 0
laten we Probeer die vergelijking op ons vorige voorbeeld:
voorbeeld: oplossen voor λ:
Beginnen met | A − λI | = 0
|
|
|
-6
3
4
5
− λ
1
0
0
1
|
|
|
= 0 |
Dat is:
= 0
de Berekening van die determinant wordt:
(−6−λ)(5−λ) − 3×4 = 0
Die wordt ons deze Kwadratische Vergelijking:
λ2 + λ − 42 = 0
En met het oplossen van wordt:
λ = -7 of 6
En ja, er zijn twee mogelijke eigenwaarden.
nu we eigenwaarden kennen, laten we hun overeenkomende eigenvectoren vinden.
voorbeeld (vervolg): Zoek de Eigenvector voor de eigenwaarde λ = 6:
begin met:
Av = λv
in de waarden die we kennen:
Na het vermenigvuldigen krijgen we deze twee vergelijkingen:
| −6x + 3y | = | 6x |
| 4x + 5y | = | 6y |
Bringing all to left hand side:
| −12x + 3y | = | 0 |
| 4x − 1y | = | 0 |
Either equation reveals that y = 4x, so the eigenvector is any non-zero multiple of this:
And we get the solution shown at the top of the page:
… en ook …
Dus Av = λv
Nu is het jouw beurt om de eigenvector voor de andere eigenwaarde van -7
Waarom?
Wat is het doel van deze?
een van de coole dingen is dat we matrices kunnen gebruiken om transformaties in de ruimte te doen, wat veel gebruikt wordt in computergraphics.
In dat geval is de eigenvector “the direction that doesn ’t change direction” !
en de eigenwaarde is de schaal van de rek:
- 1 betekent geen verandering,
- 2 betekent verdubbeling in lengte,
- -1 betekent naar achteren wijzen in de richting van de eigenwaarde
Er zijn ook veel toepassingen in de natuurkunde, enz.
waarom “Eigen”
Eigen is een Duits woord dat “eigen” of “typisch”
“das ist ihnen eigen” isGerman voor “dat is typisch voor hen”
soms gebruiken we het woord “karakteristiek”, zodat een eigenvector een “karakteristieke vector”kan worden genoemd.
niet alleen twee dimensies
eigenvectoren werken perfect in 3 en hogere dimensies.
voorbeeld: Zoek de eigenwaarden voor deze 3×3 matrix: 2 0 0 0 4 5 0 4 3
bereken eerst A-λI:
Nu de determinant gelijk moet zijn aan nul:
is:
(2−λ) = 0
Dit eindigt in een kubieke vergelijking, maar gewoon kijken naar het hier zien we een van de wortels is 2 (als gevolg van 2−λ), en het deel binnen de vierkante haken is Kwadratisch, met wortels van -1 en 8.
dus de eigenwaarden zijn -1, 2 en 8
voorbeeld (vervolg): vind de Eigenvector die overeenkomt met de Eigenwaarde -1
in de waarden die we kennen:
Na vermenigvuldigen we deze vergelijkingen:
| 2x | = | −x |
| 4y + 5z | = | −y |
| 4y + 3z | = | −z |
Bringing all to left hand side:
| 3x | = | 0 |
| 5y + 5z | = | 0 |
| 4y + 4z | = | 0 |
So x = 0, and y = −z and so the eigenvector is any non-zero multiple of this:
TEST Av:
En λv:
Jump av = ΛV, yay!
(u kunt uw hand proberen op de eigenwaarden van de 2 en 8)
roteren
terug in de 2D wereld opnieuw, zal deze matrix de rotatie doen met θ:
voorbeeld: Roteren 30°
cos(30°) = √32 en sin(30°) = 12, dus:
Maar als we draaien alle punten, wat is de richting die niet van richting veranderen”?
laten we de wiskunde doornemen om erachter te komen:
bereken eerst a-λI:
Nu de determinant gelijk moet zijn aan nul:
Dat is:
(√32-λ) (√32-λ) − (-12)(12) = 0
die deze kwadratische vergelijking wordt:
λ2 − (√3)λ + 1 = 0
waarvan de wortels zijn:
λ = √32 ± i2
de eigenwaarden zijn complex!
Ik weet niet hoe ik je dat op een grafiek moet laten zien, maar we krijgen nog steeds een oplossing.
Eigenvector
dus, wat is een eigenvector die overeenkomt met, Laten we zeggen, de √32 + I2 root?
begin met:
Av = λv
plaats de waarden die we kennen:
Na het vermenigvuldigen we deze twee vergelijkingen op:
√32x − 12y = √32x + i2x
12x + √32y = √32y + i2y
Die vereenvoudigen tot:
−y = ix
x = iy
de oplossing is elke niet-nul byte van:
of
Wow, zo ‘ n eenvoudig antwoord!
is dit alleen omdat we 30°hebben gekozen? Of werkt het voor een rotatiematrix? Ik laat je dat uitzoeken! Probeer een andere hoek, of beter nog gebruik ” cos (θ) “en”sin(θ)”.
Oh, en laten we minstens één van die oplossingen controleren:
Komt het overeen met dit?
Oh jawel!
Leave a Reply