e (Eulers getal)
het getal e is een van de belangrijkste getallen in de wiskunde.
de eerste paar cijfers zijn:
2.7182818284590452353602874713527 (en meer …)
het getal van Euler wordt vaak genoemd naar Leonhard Euler (uitgesproken als “Oiler”).
e is een irrationeel getal (het kan niet worden geschreven als een eenvoudige breuk).
e is de basis van de natuurlijke logaritmen (uitgevonden door John Napier).
e is te vinden in veel interessante gebieden, dus het is de moeite waard om over te leren.
Calculating
er zijn vele manieren om de waarde van e te berekenen, maar geen van hen geeft ooit een volledig exact antwoord, omdat e irrationeel is en zijn cijfers voor altijd doorgaan zonder te herhalen.
maar het is bekend om meer dan 1 biljoen cijfers van nauwkeurigheid!
bijvoorbeeld, de waarde van (1 + 1/n)n benadert e Als n groter en groter wordt:
| n | (1 + 1/n)n |
| 1 | 2.00000 |
| 2 | 2.25000 |
| 5 | 2.48832 |
| 10 | 2.59374 |
| 100 | 2.70481 |
| 1,000 | 2.71692 |
| 10,000 | 2.71815 |
| 100,000 | 2.71827 |
Try it! Put “(1 + 1/100000)^100000” into the calculator:
(1 + 1/100000)100000
What do you get?
een andere berekening
de waarde van e is ook gelijk aan 10! + 11! + 12! + 13! + 14! + 15! + 16! + 17! + … (etc)
(opmerking: “!”means factorial)
de eerste termen komen overeen met: 1 + 1 + 12 + 16 + 124 + 1120 = 2.71666…
Euler zelf gebruikte deze methode om e tot 18 decimalen te berekenen.
u kunt het zelf uitproberen op de Sigma Calculator.
onthouden
om de waarde van e (tot 10 plaatsen) te onthouden, Onthoud gewoon dit gezegde (tel de letters!):
- tot
- express
- e
- remember
- memorize
- A
- zin
- tot
- deze
of u kunt zich het merkwaardige patroon herinneren dat na de “2.7” het nummer “1828” verschijnt twee keer:
2.7 1828 1828
en daarna de cijfers van de hoeken 45°, 90°, 45° in een rechthoekige gelijkbenige driehoek (geen echte reden, zoals het is):
2.7 1828 1828 45 90 45
(een directe manier om echt slim te lijken!)
groei
e wordt gebruikt in de” natuurlijke ” exponentiële functie:
de Grafiek van f(x) = ex
Het is dit prachtige pand: “de helling is de waarde”
Op elk punt de helling van ex gelijk is aan de waarde van bijv.:
wanneer x=0, de waarde ex = 1, en de helling = 1
wanneer x=1, de waarde ex = e, en de helling = e
etc…
Dit geldt overal voor ex, en maakt sommige dingen in Calculus (waar we hellingen moeten vinden) een stuk makkelijker.
oppervlakte
het gebied tot elke x-waarde is ook gelijk aan ex :
een interessante eigenschap
gewoon voor de lol, probeer”Cut up Then Multiply”
laten we zeggen dat we een getal in gelijke delen snijden en dan deze delen samen vermenigvuldigen.
voorbeeld: knip 10 in 2 stukken en vermenigvuldig ze:
elk “stuk” is 10/2 = 5 in grootte
5×5 = 25
nu, … hoe kunnen we het antwoord zo groot mogelijk krijgen, welke maat moet elk stuk zijn?
het antwoord: maak de delen zo dicht mogelijk bij” e ” in grootte.
voorbeeld: 10
de winnaar is het nummer dat het dichtst bij “e” ligt, in dit geval 2,5.
probeer het zelf met een ander getal, zeg 100, … wat krijg je?
100 decimale cijfers
Hier zijn e tot 100 decimale cijfers:
2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957
49669676277240766303535475945713821785251664274…
geavanceerd: gebruik van E in samengestelde Interest
vaak verschijnt het getal e op onverwachte plaatsen. Zoals in financiën.
stel je een prachtige bank voor die 100% rente betaalt.
In een jaar zou je $1000 kunnen veranderen in $ 2000.
stel je nu voor dat de bank twee keer per jaar betaalt, dat wil zeggen 50% en 50%
halverwege het jaar dat je $1500 hebt,
je herinvestert voor de rest van het jaar en je $1500 groeit naar $2250
Je kreeg meer geld, omdat je halverwege herbelegd hebt.
dat wordt samengestelde rente genoemd.
kunnen we nog meer krijgen als we het jaar in maanden opsplitsen?
We kunnen deze formule gebruiken:
(1+r/n)n
r = jaarlijkse rentevoet (als decimaal, dus 1 niet 100%)
n = aantal perioden binnen het jaar
ons halfjaarlijkse voorbeeld is:
(1+1/2)2 = 2.25
laten we het maandelijks proberen:
(1+1/12)12 = 2.613…
laten we het 10.000 keer per jaar proberen:
(1+1/10,000)10,000 = 2.718…
Ja, het gaat richting e (en is hoe Jacob Bernoulli het voor het eerst ontdekte).
waarom gebeurt dat?
Het antwoord ligt in de gelijkenis tussen:
| Samengestelde Formule: | (1 + r/n)n | |
| en | ||
| e (als n nadert oneindig): | (1 + 1/n)n |
De samengestelde formule lijkt erg op de formule voor e (als n oneindig nadert), alleen met een extra r (de rente).
toen we een rente van 100% kozen (=1 als decimaal), werden de formules hetzelfde.
Lees continu Compounding voor meer.
Euler ‘ s formule voor complexe getallen
e komt ook voor in deze meest verbazingwekkende vergelijking:
ein + 1 = 0
Lees hier meer
transcendentaal
e is ook een transcendentaal getal.
Leave a Reply