niillä on monia käyttötarkoituksia!

yksinkertainen esimerkki on, että eigenvektori ei muuta suuntaa transformaatiossa:

sen matematiikka

neliömatriisille a, Eigenvektori ja Eigenvalue tekevät tästä yhtälöstä totta:

näemme pian, miten ne löydetään (jos ne löytyvät), mutta katsotaan ensin yksi toiminnassa:

λv antaa :

kyllä ne ovat yhtä suuret! Av = λv, kuten on luvattu.

huomaa, miten kerrotaan matriisi vektorilla ja saadaan sama tulos kuin kun kerrotaan skalaari (vain luku) kyseisellä vektorilla.

miten löydämme nämä eigen-asiat?

aloitamme löytämällä eigenvaluen: tiedämme, että tämän yhtälön on oltava tosi:

Av = λv

nyt laitetaan identiteettimatriisi, joten kyseessä on matriisi-vs-matriisi:

Av = λIv

tuo kaikki vasemmalle puolelle:

Av − λIv = 0

Jos v on ei-nolla, niin voimme ratkaista λ: lle pelkän determinantin avulla:

| a − λI | = 0

kokeillaan, että yhtälö edellisessä esimerkissämme:

lasketaan, että determinantti saa:

(−6−λ)(5−λ)−3×4 = 0

jolla saadaan sitten tämä neliöyhtälö:

λ2 + λ − 42 = 0

ja ratkaisemalla saadaan:

λ = -7 tai 6

ja kyllä, on olemassa kaksi mahdollista eigenvaluetta.

nyt tiedämme ominaisarvot, löytäkäämme niiden vastaavat ominaisvektorit.

… ja myös …

4

niin av = λv

nyt on sinun vuorosi löytää eigenvektori muille arvo -7

miksi?

mikä näiden tarkoitus on?

yksi siisteistä asioista on se, että voimme tehdä matriiseilla muunnoksia avaruudessa, jota käytetään paljon tietokonegrafiikassa.

tällöin eigenvektori on ”suunta, joka ei muuta suuntaa” !

ja eigenvalue on venytyksen asteikko:

• 1 tarkoittaa ei muutosta,
• 2 tarkoittaa pituuden kaksinkertaistumista,
• -1 tarkoittaa suuntautumista taaksepäin taivaanvalon suuntaan

on myös monia sovelluksia fysiikassa jne.

miksi ”Eigen”

joskus englannin kielessä käytetään sanaa ”ominaisuus”, joten eigenvektoria voidaan kutsua ”ominaisvektoriksi”.

ei vain kaksi ulottuvuutta

Eigenvektorit toimivat erinomaisesti 3: ssa ja sitä korkeammissa ulottuvuuksissa.

nyt determinantin pitäisi olla nolla:

joka on:

(2−λ)= 0

tämä päätyy kuutioyhtälöksi, mutta pelkästään katsomalla sitä tässä näemme, että yksi juurista on 2 (koska 2−λ), ja hakasulkeiden sisällä oleva osa on neliö, jonka juuret ovat -1 ja 8.

joten Eigenvalues ovat -1, 2 ja 8

kertomisen jälkeen saadaan nämä yhtälöt:

2x	=	−x
4y + 5z	=	−y
4y + 3z	=	−z

Bringing all to left hand side:

3x	=	0
5y + 5z	=	0
4y + 4z	=	0

So x = 0, and y = −z and so the eigenvector is any non-zero multiple of this:

TEST Av:

ja λ:

pyörivä

Takaisin 2D−maailmaan jälleen, tämä matriisi tekee pyörimisen θ:

mutta jos kierrämme kaikki pisteet, mikä on ”suunta, joka ei muuta suuntaa”?

selvittäkäämme matematiikan avulla:

lasketaan ensin a-λI:

nyt determinantin pitäisi olla nolla:

joka on:

(√32-λ) (√32−λ) − (-12)(12) = 0

, josta tulee tämä Neliöyhtälö:

λ2 − (√3)λ + 1 = 0

joiden juuret ovat:

λ = √32 ± I2

eigenvalueet ovat monimutkaisia!

en tiedä, miten sitä voisi graafilla näyttää, mutta ratkaisu löytyy silti.

Eigenvektori

niin, mikä on eigenvektori, joka vastaa vaikkapa √32 + i2-juurta?

Aloita:

Av = λv

laita tuntemamme arvot:

kertomisen jälkeen saadaan nämä kaksi yhtälöä:

√32X − 12y = √32x + i2x

12x + √32Y = √32Y + I2Y

, jotka yksinkertaistavat:

−y = IX

x = IY

ja ratkaisu on mikä tahansa ei-nolla tavu:

vau, niin yksinkertainen vastaus!

johtuuko tämä vain siitä, että valitsimme 30°? Vai toimiiko se mille tahansa rotaatiomatriisille? Annan sinun selvittää sen! Kokeile toista kulmaa, tai vielä parempi käyttää ”cos (θ) ”ja”sin(θ)”.

Oh, ja tarkistakaamme ainakin yksi noista ratkaisuista: