e (Eulerin luku)
luku e on yksi matematiikan tärkeimmistä luvuista.
ensimmäiset numerot ovat:
2.7182818284590452353602874713527 (ja lisää …)
sitä kutsutaan usein Eulerin luvuksi Leonhard Eulerin mukaan (lausutaan ”Oiler”).
e on irrationaaliluku (sitä ei voida kirjoittaa yksinkertaisena murtolukuna).
e on John Napierin keksimien luonnollisten logaritmien perusta.
e löytyy monelta mielenkiintoiselta alueelta, joten siitä kannattaa ottaa oppia.
laskettaessa
on monia tapoja laskea E: n arvo, mutta yksikään niistä ei koskaan anna täysin tarkkaa vastausta, koska e on irrationaalinen ja sen numerot jatkuvat ikuisesti toistamatta.
mutta se tunnetaan yli biljoonan numeron tarkkuudella!
esimerkiksi arvon (1 + 1 / n)n arvo lähestyy e: tä, kun n suurenee ja suurenee:
| n | (1 + 1/n)n |
| 1 | 2.00000 |
| 2 | 2.25000 |
| 5 | 2.48832 |
| 10 | 2.59374 |
| 100 | 2.70481 |
| 1,000 | 2.71692 |
| 10,000 | 2.71815 |
| 100,000 | 2.71827 |
Try it! Put ”(1 + 1/100000)^100000” into the calculator:
(1 + 1/100000)100000
What do you get?
toinen laskelma
e: n arvo on myös yhtä suuri kuin 10! + 11! + 12! + 13! + 14! + 15! + 16! + 17! + … (etc)
(Huom:”!”means factorial)
muutaman ensimmäisen termin yhteenlasku: 1 + 1 + 12 + 16 + 124 + 1120 = 2.71666…
itse asiassa Euler itse käytti tätä menetelmää e: n laskemiseen 18 desimaalin tarkkuudella.
voit kokeilla sitä itse Sigma-laskurissa.
muistaa
muistaa E: n arvon (10 paikkaan) muista vain tämä sanonta (laske kirjaimet!):
- to express e muista muistaa muistaa muistaa lauseen muistaa tämän
tai voit muistaa sen kummallisen kuvion, että ”2.7” jälkeen ilmestyy numero ”1828” kahdesti:
2,7 1828 1828
ja sen jälkeen ovat kulmien numerot 45°, 90°, 45° oikeakulmaisessa tasakylkisessä kolmiossa (ei todellista syytä, vain miten se on):
2,7 1828 1828 45 90 45
(välitön tapa vaikuttaa todella fiksulta!)
kasvua
e käytetään ”luonnollisessa” Eksponenttifunktiossa:
Graph of f(x) = ex
sillä on tämä ihmeellinen ominaisuus: ”sen kaltevuus on sen arvo”
missä tahansa kohdassa ex: n kaltevuus vastaa arvoa ex:
kun x=0, arvo ex = 1, ja kaltevuus = 1
kun x=1, arvo Ex = e, ja kaltevuus = e
jne…
Tämä pätee missä tahansa ex: n kohdalla, ja tekee joistakin asioista laskutoimituksissa (joissa pitää löytää rinteitä) paljon helpompia.
pinta-ala
pinta-ala mihin tahansa x-arvoon asti on myös yhtä suuri kuin ex :
mielenkiintoinen ominaisuus
ihan vain huvin vuoksi, kokeillaan ”leikatkaa sitten kertokaa”
sanokaamme, että leikkaamme luvun yhtä suuriin osiin ja sitten kerromme ne osat yhteen.
esimerkki: leikkaa 10 kahteen osaan ja kerro ne:
jokainen ”pala” on kooltaan 10/2 = 5
5×5 = 25
nyt, … miten saamme vastauksen olemaan mahdollisimman iso, minkä kokoinen jokaisen palan pitäisi olla?
vastaus: tee osat mahdollisimman lähelle kokoa ”e”.
esimerkki: 10
voittaja on lukua ”e” lähimpänä oleva luku, tässä tapauksessa 2,5.
kokeile sitä toisella numerolla itse, vaikkapa 100, … mitä sinä saat?
100 desimaalia
tässä on E-100 desimaalia:
2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957
49669676277240766303535475945713821785251664274…
Advanced: E: n käyttö Koronkorossa
usein luku e esiintyy odottamattomissa paikoissa. Kuten rahoitusalalla.
Kuvittele ihana pankki, joka maksaa 100 prosentin korkoa.
yhdessä vuodessa saattoi muuttaa 1000 dollaria 2000 dollariksi.
kuvittele nyt, että pankki maksaa kahdesti vuodessa, eli 50% ja 50%
vuoden puolivälissä sinulla on 1500 dollaria,
sijoitat loppuvuoden uudelleen ja 1500 dollariasi kasvaa 2250 dollariin
sait enemmän rahaa, koska sijoitit uudelleen puolivälissä.
, jota kutsutaan koronkoroksi.
voisimmeko saada vielä enemmän, jos rikkoisimme vuoden kuukausiksi?
voidaan käyttää tätä kaavaa:
(1+r/n)n
r = vuosikorko (desimaalina, joten 1 ei 100%)
n = jaksojen lukumäärä vuoden sisällä
puolivuotisesimerkkimme on:
(1+1/2)2 = 2.25
kokeillaan kuukausittain:
(1+1/12)12 = 2.613…
kokeillaan sitä 10 000 kertaa vuodessa:
(1+1/10,000)10,000 = 2.718…
kyllä, se on menossa kohti e: tä (ja näin Jacob Bernoulli löysi sen ensimmäisen kerran).
miksi näin tapahtuu?
vastaus löytyy samankaltaisuudesta:
| Yhdistelmäkaava: | (1 + r/n)n | ||
| ja | |||
| E (n lähestyessä ääretöntä): | (1 + 1/n)n |
Yhdistelmäkaava on hyvin samanlainen kuin E: n kaava (n lähestyessä ääretöntä), vain ylimääräisellä r: llä (korolla).
kun valitsimme 100 prosentin koron (= 1 desimaalina), kaavoista tuli samat.
Lue jatkuva koostaminen lisää.
Eulerin kaava Kompleksiluvuille
e esiintyy myös tässä hämmästyttävimmässä yhtälössä:
ein + 1 = 0
Lue lisää täältä
Transsendenttiluku
e on myös Transsendenttiluku.
Leave a Reply