kantokyky ja logistinen malli

reaalimaailmassa, rajallisine resursseineen, eksponentiaalinen kasvu ei voi jatkua loputtomiin. Eksponentiaalista kasvua voi tapahtua ympäristöissä, joissa yksilöitä on vähän ja luonnonvaroja runsaasti, mutta kun yksilömäärä kasvaa tarpeeksi suureksi, resurssit ehtyvät, mikä hidastaa kasvunopeutta. Lopulta kasvuvauhti tasaantuu tai tasaantuu. Tätä populaation kokoa, joka edustaa suurinta populaation kokoa, jota tietty ympäristö voi tukea, kutsutaan kantokyvyksi tai \(K\).

logistisen kasvun laskukaava lisää kantokyvyn hidastavana voimana kasvunopeuteen. Ilmaisu ” K-N ”on osoitus siitä, kuinka monta yksilöä populaatioon voidaan tietyssä vaiheessa lisätä, ja” K – n ”jaettuna” K”: lla on se murto-osa kantokyvystä, joka on käytettävissä lisäkasvua varten. Näin ollen eksponentiaalista kasvumallia rajoitetaan tällä tekijällä, jolloin saadaan aikaan logistinen kasvuyhtälö:

\ &=r_{max} \times n \times (\dfrac{K – n}{k}) \dfrac{DN}{dT} \\ &=rmax∗(dN/dT)=rmax∗n∗((K N)/K) \end{align*}\]

huomaa, että kun \(n\) on hyvin pieni, (K-n)/k tulee lähelle \(K/K\) tai 1; yhtälön oikea puoli pienenee muotoon \(R_{Max}n\), jolloin populaatio kasvaa eksponentiaalisesti eikä kantokyky vaikuta siihen. Toisaalta, kun \(n\) on suuri, \((K-n)/K\) tulevat lähelle nollaa, mikä tarkoittaa, että väestönkasvu hidastuu suuresti tai jopa pysähtyy. Väestönkasvua hidastaa siis suurissa populaatioissa huomattavasti kantokyky \(K\). Malli mahdollistaa myös negatiivisen väestönkasvun tai väestön vähenemisen. Tämä tapahtuu, kun yksilöiden määrä populaatiossa ylittää kantokyvyn (koska arvo (K-N)/K on negatiivinen).

tämän yhtälön kuvaaja tuottaa S-kirjaimen muotoisen käyrän; se on eksponentiaalista kasvua realistisempi väestönkasvun malli. S-kirjaimen muotoisessa käyrässä on kolme eri kohtaa. Aluksi kasvu on eksponentiaalista, koska yksilöitä on vähän ja resursseja runsaasti saatavilla. Sitten kun resurssit alkavat olla rajalliset, kasvuvauhti hidastuu. Lopuksi kasvu tasaantuu ympäristön kantokyvyn mukaan, eikä populaation koko muutu juurikaan ajan myötä.