Articles

Vlastní vektor a vlastní hodnota

by admin

mají mnoho použití!

jednoduchý příklad je, že vlastní vektor nemění směr v transformaci:

vlastní vektor v transformaci

Matematika

Pro čtvercové matice, vlastní vektor a vlastní číslo, aby tato rovnice platí:

A krát x = lambda x krát

My uvidíme, jak je najít (pokud mohou být nalezeny) brzy, ale nejdříve, dejte nám vidět jeden v akci:

Příklad: Pro matici -6 3 4 5 vlastní vektor je: 1 4 s odpovídající vlastní čísla 6

Pojďme udělat nějaké matice násobí se podívat, co dostaneme.

Av nám dává:

-6
3
4
5

1
4

=
-6×1+3×4
4×1+5×4

=
6
24

λv nám dává :

6
1
4

=
6
24

Ano jsou stejné! Takže Av = λv, jak jsem slíbil.

Všimněte si, jak vynásobíme matici vektorem a získáme stejný výsledek, jako když vynásobíme skalární (jen číslo) tímto vektorem.

jak najdeme tyto eigen věci?

začneme nalezením vlastního čísla: víme, že tato rovnice musí být pravdivá:

Av = λv

Teď pojďme dát do identity matrix, takže máme co do činění s matrix-vs-matrix:

Av = λIv

Přiveďte vše k levé straně:

Av − λIv = 0

Pokud v je nenulový, pak můžeme vyřešit pro λ pomocí determinantu:

| A − λI | = 0

zkusme tuto rovnici na náš předchozí příklad:

Příklad: Řešení pro λ:

Začněte s | A − λI | = 0

|
-6
3
4
5

λ
1
0
0
1
|
 = 0

, Který je:

−6−λ
3
4
5−λ

= 0

Výpočet tohoto determinantu dostane:

(−6−λ)(5−λ) − 3×4 = 0

Které pak dostane nás to Kvadratická Rovnice:

λ2 + λ − 42 = 0

A řešení se dostane:

λ = -7 nebo 6,

A ano, jsou možné dvě vlastní čísla.

nyní známe vlastní čísla, najdeme jejich odpovídající vlastní vektory.

příklad (pokračování): Najděte vlastní vektor pro vlastní hodnotu λ = 6:

začněte:

Av = λv

Dejte do hodnoty víme, že:

-6
3
4
5

x
y

= 6
x
y

Po vynásobení dostaneme tyto dvě rovnice:

−6x + 3y = 6x
4x + 5y = 6y

Bringing all to left hand side:

−12x + 3y = 0
4x − 1y = 0

Either equation reveals that y = 4x, so the eigenvector is any non-zero multiple of this:

1
4

And we get the solution shown at the top of the page:

-6
3
4
5

1
4

=
-6×1+3×4
4×1+5×4

=
6
24

… i …

6
1
4

=
6
24

Av = λv

Teď je řada na vás najít vlastní vektor pro další vlastní číslo -7

Proč?

jaký je jejich účel?

Jedna ze skvělých věcí je, že můžeme použít matice, aby udělat transformací v prostoru, který se hodně používá v počítačové grafice.

v tomto případě je vlastní vektor „směr, který nemění směr“!

A je vlastní číslo je rozsah roztažení:

  • 1 znamená žádnou změnu,
  • 2 znamená zdvojnásobení délky,
  • -1 znamená, směřující dozadu podél eigenvalue je směr,

Existuje také mnoho aplikací ve fyzice, atd.

Proč „Vlastní“

Eigen je německé slovo, které znamená „vlastní“ nebo „typické“

„das ist ihnen eigen“ isGerman pro“, která je typická pro ně“

Někdy se v češtině používáme slovo „vlastnost“, takže vlastní vektor může být nazýván „charakteristický vektor“.

nejen dvě dimenze

vlastní vektory fungují perfektně ve 3 a vyšších dimenzích.

příklad: najděte vlastní čísla pro tuto matici 3×3: 2 0 0 0 4 5 0 4 3

nejprve vypočítat a-λI:

2
0
0
0
4
5
0
4
3

λ
1
0
0
0
1
0
0
0
1

=
2−λ
0
0
0
4−λ
5
0
4
3−λ

Nyní determinant by se měla rovnat nule:

2−λ
0
0
0
4−λ
5
0
4
3−λ

= 0

je:

(2−λ) = 0

To skončí kubické rovnice, ale jen při pohledu na to tady vidíme jeden z kořenů je 2 (protože 2−λ), a část uvnitř hranatých závorek je Kvadratická, s kořeny -1 a 8.

takže vlastní čísla jsou -1, 2 a 8

příklad (pokračování): najít vlastní vektor, který odpovídá vlastní číslo -1

v hodnotách víme, že:

2
0
0
0
4
5
0
4
3

x
y
z

= -1
x
y
z

Po vynásobení dostaneme tyto rovnice:

2x = −x
4y + 5z = −y
4y + 3z = −z

Bringing all to left hand side:

3x = 0
5y + 5z = 0
4y + 4z = 0

So x = 0, and y = −z and so the eigenvector is any non-zero multiple of this:

0
1
−1

TEST Av:

2
0
0
0
4
5
0
4
3

0
1
-1

=
0
4-5
4-3

=
0
-1
1

A λv:

-1
0
1
-1

=
0
-1
1

Přejít Av = λv, yay!

(můžete vyzkoušet na vlastní čísla 2 a 8)

Rotační

Zpět v 2D světě, opět, tato matice bude dělat otočení o θ:

cos(θ)
−sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)

Příklad: Otočení o 30°

cos(30°) = √32 a sin(30°) = 12, takže:

cos(30°)
−sin(30°)
sin(30°)
cos(30°)

=
√32
-12
12
√32

Ale když jsme se otočit všechny body, co je to „směr, který nemá změnit směr“?

Rotace Transformace

Pojďme pracovat prostřednictvím matematiky zjistit:

První výpočet − λI:

√32
-12
12
√32

λ
1
0
0
1

=
√32−λ
-12
12
√32−λ

Nyní determinant by se měla rovnat nule.

√32−λ
-12
12
√32−λ

= 0

, Který je:

(√32−λ)(√32−λ) − (-12)(12) = 0

Což se stává tato Kvadratická Rovnice:

λ2 − (√3)λ + 1 = 0

, Jejíž kořeny jsou:

λ = √32 ± i2

vlastní čísla jsou komplexní!

nevím, jak vám to ukázat na grafu, ale stále máme řešení.

vlastní vektor

takže, co je vlastní vektor, který odpovídá, řekněme, √32 + I2 kořen?

začněte:

Av = λv

vložte hodnoty, které známe:

√32
-12
12
√32

x
y

= (√32 + i2)
x
y

Po vynásobení dostaneme tyto dvě rovnice:

√32x − 12y = √32x + i2x

12x + √32y = √32y + i2y

Což zjednoduší na:

−y = ix

x = iy

A řešení je žádné non-nula bajt:

1

nebo

1

Wow, taková jednoduchá odpověď!

je to jen proto, že jsme zvolili 30°? Nebo to funguje pro jakoukoli rotační matici? Nechám tě to vyřešit! Zkuste jiný úhel, nebo ještě lépe použijte „cos (θ)“ a “ sin (θ)“.

Oh, a podívejme se alespoň na jedno z těchto řešení:

√32
-12
12
√32

1

=
já√32 − 12
i2 + √32

jde to dohromady?

(√32 + i2)
1

=
já√32 − 12
√32 + i2

ano, záleží!