Rational Exponents

Learning Objective(s)

· Convert radicals to expressions with rational exponents.

· Convert expressions with rational exponents to their radical equivalent.

· Use the laws of exponents to simplify expressions with rational exponents.

· Use rational exponents to simplify radical expressions.

Náměstí kořeny jsou většinou psány pomocí odmocninou, jako je tento, . Existuje však i jiný způsob, jak reprezentovat zakořenění. Místo radikálu můžete použít racionální exponenty. Racionální exponent je exponent, který je zlomkem. Například lze zapsat jako .

Nedovedete si představit zvýšení čísla na racionální exponent? Může být těžké si na ně zvyknout, ale racionální exponenti mohou skutečně pomoci zjednodušit některé problémy. Pojďme prozkoumat vztah mezi racionálními (zlomkovými) exponenty a radikály.

Radikálů a zlomkové exponenty jsou alternativní způsoby, jak vyjádřit stejnou věc. Už jste viděli, jak mohou být odmocniny vyjádřeny jako exponent k síle jedné poloviny.

Let’s look at some more examples, but this time with cube roots. Pamatovat, cubing číslo zvyšuje to na sílu tří. Všimněte si, že v těchto příkladech je jmenovatelem racionálního exponentu číslo 3.

These examples help us model a relationship between radicals and racionální exponenty: jmenovitě, že n-tý kořen čísla může být zapsán jako nebo .

When faced with an výraz obsahující racionální exponent, můžete jej přepsat pomocí radikálu. Ve výše uvedené tabulce si všimněte, jak jmenovatel racionálního exponentu určuje index kořene. Takže, exponentem znamená odmocnina, mocnina překládá na pátou root nebo překládá na osmou root nebo .

Pamatujte si, že exponenty týkají pouze množství, okamžitě po jejich levici, pokud seskupení symbol je používán. Níže uvedený příklad vypadá velmi podobně jako předchozí příklad s jedním důležitým rozdílem-neexistují žádné závorky! Podívej, co se stane.

Just as you can rewrite an expression with a rational exponent as a radical expression, you can express a radical expression using a rational exponent.

Všechny čitatele za zlomkové exponenty v příkladech výše byly 1. K vyjádření kořenů můžete použít zlomkové exponenty, které mají jiné čitatele než 1, Jak je uvedeno níže. Všimněte si nějaké vzory v této tabulce?

přepsat radikální pomocí frakční exponent, výkon, na který radicand je zvýšena stává čitatel a kořen se stává jmenovatel.

Psaní Zlomkové Exponenty

Žádné radikální v podobě může být zapsána pomocí frakční exponent ve tvaru .

vztah mezi pracuje pro racionální exponenty, které mají čitatel 1 stejně. Například radikální můžeme také zapsat jako , protože každé číslo zůstává stejné hodnoty, pokud je zvednuté na první silou. Nyní můžete vidět, odkud čitatel 1 pochází v ekvivalentní formě .

Pojďme prozkoumat některé radikální výrazy a uvidíte, jak je zjednodušit. Zde je radikální výraz, který potřebuje zjednodušit, .

jednou z metod zjednodušení tohoto výrazu je faktor a vytažení skupin a3, jak je uvedeno níže v tomto příkladu.

můžete také zjednodušit tento výraz přemýšlet o radikální jako výraz s racionálním exponentem a pomocí zásady, že žádné radikální v podobě může být zapsána pomocí frakční exponent ve tvaru .

Note that rational exponents are subject to all of the same rules as other exponents when they appear in algebraic expressions.

obě metody zjednodušení daly stejný výsledek, a2. V závislosti na kontextu problému může být jednodušší použít jednu nebo druhou metodu, ale prozatím si všimnete, že jste tento výraz dokázali zjednodušit rychleji pomocí racionálních exponentů než při použití metody „vytahování“.

zkusme jiný příklad.

Opět platí, že alternativní metoda je v práci na zjednodušení pod odmocninou pomocí faktoringu. Pro příklad, který jste právě vyřešili, vypadá to takto.

Which of the expressions below is equal to the expression when written using a rational exponent?

A)

B)

C)

D)

zkusme složitější výraz, . Tento výraz má dvě proměnné, zlomek a radikál. Vezměme si to krok za krokem a uvidíme, jestli nám použití zlomkových exponentů pomůže zjednodušit.

začněme zjednodušením jmenovatele, protože zde se nachází radikální znaménko.

No, chvíli to trvalo, ale udělal jsi to. Použili jste to, co víte o zlomkových exponentech, negativních exponentech a pravidlech exponentů, abyste zjednodušili výraz.

radikální může být vyjádřena jako výraz s frakční exponent o následující úmluvy . Přepisování radikálů pomocí zlomkových exponentů může být užitečné při zjednodušení některých radikálních výrazů. Při práci s zlomkovými exponenty nezapomeňte, že zlomkové exponenty podléhají všem stejným pravidlům jako ostatní exponenty, když se objevují v algebraických výrazech.