e (Eulerovo Číslo)
počet e je jedním z nejdůležitějších čísel v matematice.
prvních několik číslic je:
2.7182818284590452353602874713527 (a další …)
často se nazývá Eulerovo číslo po Leonhardovi Eulerovi (vyslovováno „Oiler“).
e je iracionální číslo (nelze jej zapsat jako jednoduchý zlomek).
e je základem přirozených logaritmů (vynalezených Johnem Napierem).
e se nachází v mnoha zajímavých oblastech, takže stojí za to se o tom dozvědět.
Výpočet
Existuje mnoho způsobů výpočtu hodnoty e, ale žádný z nich nikdy dát zcela přesnou odpověď, protože e je iracionální a jeho číslic jít na věky, aniž by museli opakovat.
ale je známo, že více než 1 bilion číslic přesnosti!
například hodnota (1 + 1/n) n se blíží e, protože n se zvětšuje a zvětšuje:
| n | (1 + 1/n)n |
| 1 | 2.00000 |
| 2 | 2.25000 |
| 5 | 2.48832 |
| 10 | 2.59374 |
| 100 | 2.70481 |
| 1,000 | 2.71692 |
| 10,000 | 2.71815 |
| 100,000 | 2.71827 |
Try it! Put „(1 + 1/100000)^100000“ into the calculator:
(1 + 1/100000)100000
What do you get?
další výpočet
hodnota e se také rovná 10! + 11! + 12! + 13! + 14! + 15! + 16! + 17! + … (etc)
(Poznámka:“!“znamená faktoriál)
prvních pár výrazů se sčítá: 1 + 1 + 12 + 16 + 124 + 1120 = 2.71666…
ve skutečnosti Euler sám použil tuto metodu k výpočtu e na 18 desetinných míst.
můžete si to vyzkoušet sami na kalkulačce Sigma.
zapamatování
Chcete-li zapamatovat hodnotu e (na 10 míst), nezapomeňte na toto rčení(počítat písmena!):
- vyjádřit
- e
- pamatujte si,
- zapamatovat
- větu
- zapamatovat
- toto
Nebo si můžete vzpomenout na zvláštní vzor, který po „2.7“ počet „1828“ se objeví DVAKRÁT:
2.7 1828 1828
A následující, KTERÉ jsou číslice úhly 45°, 90°, 45°, Pravoúhlý Rovnoramenný Trojúhelník (žádný skutečný důvod, prostě jak to je):
2.7 1828 1828 45 90 45
(okamžitý způsob, jak se zdá, opravdu smart!)
růst
e se používá v“ přirozené “ exponenciální funkci:
Graf f(x) = ex
má tuto úžasnou vlastnost: „jeho sklon je jeho hodnota“
V každém bodě sklon ex rovná hodnotě ex :
když x=0, hodnota ex = 1, a sklon = 1,
když je x=1, hodnota ex = e, a sklon = e
atd…
to platí kdekoliv pro ex, a dělá některé věci v kalkulu (kde musíme najít svahy) mnohem jednodušší.
Plocha
plocha až do libovolné hodnoty x se také rovná ex :
Zajímavou Vlastnost
Jen tak pro legraci, zkuste „rozřezat Pak Násobit“
řekněme, že jsme se snížit číslo na stejné části, a pak násobit tyto části dohromady.
příklad: nakrájejte 10 na 2 kusy a vynásobte je:
každý “ kus “ má velikost 10/2 = 5
5×5 = 25
nyní … jak bychom mohli získat odpověď, aby byla co největší, jakou velikost by měl být každý kus?
odpověď: udělejte díly co nejblíže velikosti „e“.
příklad: 10
vítězem je číslo nejbližší k „e“, v tomto případě 2.5.
zkuste to s jiným číslem sami, řekněme 100,… co dostanete?
100 desetinných míst
zde je e až 100 desetinných míst:
2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957
49669676277240766303535475945713821785251664274…
Pokročilé: použití E ve složeném zájmu
často se číslo e objevuje na neočekávaných místech. Například ve financích.
Představte si nádhernou banku, která platí 100% úrok.
za jeden rok můžete proměnit $ 1000 na $ 2000.
Teď si představte, že banka platí dvakrát ročně, to je 50% a 50%.
v Polovině roku máte 1500 dolarů,
reinvestovat pro zbytek roku a $1500 roste na $2250
máš víc peněz, protože reinvestované v půlce.
tomu se říká složený úrok.
Mohli bychom získat ještě více, kdybychom rozdělili rok na měsíce?
můžeme použít tento vzorec:
(1+r/n) ^ n,
r = roční úroková sazba (jako desetinné číslo, takže 1 není 100%)
n = počet období v roce,
Naše půl roční příkladem je:
(1+1/2)2 = 2.25
zkusme to měsíčně:
(1+1/12)12 = 2.613…
zkusme to 10 000krát ročně:
(1+1/10,000)10,000 = 2.718…
Ano, směřuje k e (a tak to Jacob Bernoulli poprvé objevil).
proč se to děje?
odpověď spočívá v podobnosti mezi:
| Skládání Vzorec: | (1 + r/n)n | |
| a | ||
| e (jak se n blíží nekonečnu): | (1 + 1/n)n |
Složení Vzorec je velmi podobný vzorci pro e (jak se n blíží nekonečnu), jen s extra r (úrokové sazby).
Když jsme zvolili úrokovou sazbu 100% (= 1 jako desetinné číslo), vzorce se staly stejnými.
Přečtěte si kontinuální složení pro více informací.
Eulerova Formule pro Komplexní Čísla
e zobrazí se také v tomto nejúžasnější rovnice:
ein + 1 = 0
Číst více
Transcendentální
e je také transcendentální číslo.
Leave a Reply